全部概念

连续映射是保持拓扑结构的映射：每个开集的原像仍是开集。等价地，每一点的每个邻域都包含该点某个邻域的原像。

拓扑空间是带有一族「开集」的集合，开集族对有限交与任意并封闭。它把「邻近」从距离中抽象出来， 使连续、紧、连通等概念可以在没有度量的对象上讨论。

若恒等映射 id X 同伦于某个常值映射，则称 X 可缩。等价地， X 同伦等价于单点空间， 或者说 X 可以强形变收缩到其中一点。

若形变收缩的整个过程中子空间 A 逐点不动，即 H t| A = id A 对所有 t ∈ [0, 1] 成立， 则称 A 是 X 的强形变收缩核。

连续映射 f: X → Y 称为弱同伦等价，若它诱导所有同伦群 π n （ n ≥ 0 ， π 0 指连通分支集合）的同构。它不要求存在同伦逆。

两个连续映射 f, g: X → Y 同伦，若存在连续映射 H: X × [0, 1] → Y 使 H(x, 0) = f(x) 、 H(x, 1) = g(x) 。直观上， H 是把 f 连续形变为 g 的一族映射。

同伦不变量是把拓扑空间（或映射）对应到代数对象（群、环、模、集合）的构造， 使得同伦等价的空间得到同构的对象、同伦的映射得到相同的对应物。 基本群、高阶同伦群、奇异同调群都是同伦不变量。

同伦等价是拓扑空间之间「可以互相连续地形变回去」的等价关系：存在连续映射 f: X → Y 与 g: Y → X ，使得 g ∘ f 同伦于 id X 、 f ∘ g 同伦于 id Y 。 它比同胚宽松，却恰好保留了同伦论关心的全部信息。

空间 X 的同伦类型是 X 在同伦等价下的等价类。两个空间具有相同的同伦类型当且仅当它们同伦等价； 同伦不变量只依赖同伦类型，而不依赖空间的具体点集结构。

若连续映射 g: Y → X 满足 g ∘ f ≃ id X 且 f ∘ g ≃ id Y ， 则称 g 是 f 的同伦逆。连续映射 f 是同伦等价，当且仅当它拥有同伦逆。

子空间 A ⊆ X 称为 X 的形变收缩核，若存在连续映射 H: X × [0, 1] → X 使 H 0 = id X 且 H 1(X) ⊆ A 。直观上， X 可以连续地「压」到 A 上。

设 X, Y 为连通 CW 复形， f: X → Y 连续。若 f 诱导所有同伦群的同构 （ π 1 及所有 π n ），则 f 是同伦等价。

高阶同伦群定义为球面映射的同伦类集合 π n(X, x 0) = [(S n, s 0), (X, x 0)] ， n ≥ 1 。它是一个群，且当 n ≥ 2 时是交换群。

以基点 x 0 为端点的闭路，在「相对于端点的同伦」下的同伦类，按道路拼接构成群 π 1(X, x 0) 。它记录空间一维的「绕行方式」，是最基本的代数拓扑不变量。

基本群胚 Π 1(X) 以 X 的点为对象、以道路的同伦类为态射，构成一个群胚（每个态射都可逆）。 基本群是它在基点处的自同构群。

奇异 n -链群由标准单形到 X 的连续映射自由生成，边缘算子 ∂ 满足 ∂ 2 = 0 ，其同调 H n(X) = ∂ n / im ∂ n+1 称为奇异同调群。

CW 复形是从离散点集出发，逐维粘上闭球（胞腔）得到的拓扑空间：闭包有限、采用弱拓扑。 它既有组合结构（便于计算），又对连续粘合足够灵活（便于同伦操作）。

群 G 在集合或空间 X 上的作用是映射 G × X → X ， (g, x) ↦ g · x ， 满足 e · x = x 与 g · (h · x) = (gh) · x ；等价地，是同态 G → Aut(X) 。

群族 \ G i\ i ∈ I 的自由积 ∗ i G i 由交错字 g 1 g 2 g k 构成， 其中相邻的 g j 来自不同的因子，且非单位元。它是群范畴中的余积。

集合 S 上的自由群 F(S) 由 S 生成、除群公理外不满足任何额外关系。 其元素是 S 与其形式逆构成的有限字，模去相邻的 s s -1 与 s -1 s 。

模型范畴是带有三类态射——弱等价、纤维化、余纤维化——并满足 Quillen 公理 （提升性质与分解性质）的范畴。它把「同伦」从拓扑空间抽象到任意范畴， 其同伦范畴是弱等价的形式局部化。

同伦范畴 Ho(Top) 以拓扑空间为对象、以连续映射的同伦类为态射。 同伦等价恰好是其中的同构，因此它是研究同伦不变量的自然场所。

同伦类型论把类型解释为空间、项解释为点、等词类型 a = A b 解释为道路空间； 在此解释下同伦等价对应类型等价，Voevodsky 的单价公理使「等价即相等」成为可形式化的原则。