Concept·Homotopy Theory

同伦

Homotopy

同伦论已审核2 条定义13 条关系更新于 2026-11-04

别名同伦关系homotopichomotopy of maps

两个连续映射 $f, g : X \to Y$ 同伦，若存在连续映射 $H : X \times [0, 1] \to Y$ 使 $H (x, 0) = f (x)$ 、 $H (x, 1) = g (x)$ 。直观上， $H$ 是把 $f$ 连续形变为 $g$ 的一族映射。

定义

Definitions

2 条

同一概念可以拥有多条定义：它们可能刻画同一对象的不同侧面（例如标准定义与范畴论刻画）。每条定义都有独立页面与来源。

同伦的标准定义

Standard Definition of Homotopy

已审核

设 $X, Y$ 为拓扑空间， $f, g : X \to Y$ 连续。若存在连续映射 $H : X \times [0, 1] \to Y$ 使得对所有 $x \in X$ 有 $H (x, 0) = f (x)$ 且 $H (x, 1) = g (x)$ ，则称 $f$ 与 $g$ 同伦，记作 $f ≃ g$ 。

H : X \times [0, 1] \to Y, H (x, 0) = f (x), H (x, 1) = g (x)

成立条件

$X$ 、 $Y$ 为拓扑空间
$f$ 、 $g$ 连续
$[0, 1]$ 取子空间拓扑， $X \times [0, 1]$ 取乘积拓扑

适用对象

拓扑空间之间的连续映射

定义解释

$[0, 1]$ 是「时间」参数： $H_{t} (x) := H (x, t)$ 是一族连续映射，从 $f$ 连续变形到 $g$ 。同伦是映射之间的等价关系，不是空间之间的关系；空间之间的关系由同伦等价（同伦逆的存在性）给出。

参考来源：2 条（见定义页）

相对于子空间的同伦

Relative Homotopy

已审核

设 $A \subseteq X$ ， $f, g : X \to Y$ 连续且满足 $f ∣_{A} = g ∣_{A}$ 。若存在同伦 $H : f ≃ g$ 使得对所有 $a \in A$ 、 $t \in [0, 1]$ 有 $H (a, t) = f (a)$ ，则称 $f$ 与 $g$ 相对于 $A$ 同伦，记作 $f ≃ g rel A$ 。

H (a, t) = f (a) = g (a), \forall a \in A, \forall t \in [0, 1]

成立条件

$A \subseteq X$
$f ∣_{A} = g ∣_{A}$
$H$ 在整个形变过程中固定 $A$

适用对象

带指定子空间的拓扑空间对 $(X, A)$

定义解释

相对同伦是基本群定义的基石：闭路之间的同伦必须固定端点，否则拼接运算无法良定义。它也用于定义相对同伦群 $π_{n} (X, A, x_{0})$ 与同伦纤维。

参考来源：1 条（见定义页）

前置概念

Prerequisites

2 条

严格数学前置指「定义中直接使用了对方」；学习前置是教学顺序建议，二者可能不同。所有前置概念都可以点击跳转，并可逐层递归展开。

A严格数学前置

连续映射Continuous Map 拓扑空间Topological Space

B学习前置

暂无额外学习前置；上列的数学前置同时也是学习起点。

多层前置（最多展开三层，点击三角展开）

连续映射Continuous Map数学前置

拓扑空间Topological Space数学前置

思想动机

Motivation

01原本存在的问题

同胚太严格：开区间与闭区间不同胚，闭球与单点不同胚，但它们在「可以连续压扁」的意义下携带相同的洞信息。若坚持按同胚分类空间，几乎所有有趣的分类问题都不可行。

02原有理论的不足

同胚要求双向连续且严格互逆，无法表达「允许压缩、允许粘合」的形变直觉；它也不能说明两个映射何时「本质相同」。

03为什么需要引入新概念

引入时间参数 $t \in [0, 1]$ ，把形变写成一个连续映射 $H (x, t)$ 。同伦不是空间之间的关系，而是映射之间的关系。

04新概念解决了什么

得到映射的同伦类，进而定义同伦等价、基本群与同伦不变量。拓扑学的研究对象从「空间本身」转向「空间连同其形变」。

关系网络

Relations

13 条

关系按类型分开记录：逻辑依赖、学习顺序、推广与特例、应用、思想联系、历史影响。下图以本概念为中心，点击节点可展开邻居，双击节点打开对应概念页。

数学前置依赖
学习前置
推广
特殊情形
等价
构造自
应用于
在……下不变
思想联系
思想启发
历史影响
|
同伦论
代数拓扑
一般拓扑
群论
范畴论与同调代数
数学基础
几何群论

在全局关系图中查看 →

逻辑与结构关系Logical / structural

由数学定义本身决定的关系：谁依赖谁、谁推广谁、谁与谁等价。这类关系与学习者无关。

数学前置依赖requires

连续映射Continuous Map数学前置依赖已审核

同伦 $H: X \times [0,1] \to Y$ 本身必须是连续映射，且被同伦的 $f, g$ 也必须是连续映射。

来源：Hatcher 2002

拓扑空间Topological Space数学前置依赖已审核

同伦的定义需要乘积空间 $X \times [0,1]$ 与乘积拓扑，这以拓扑空间范畴为前提。

来源：Hatcher 2002

同伦等价Homotopy Equivalence被依赖已审核

同伦等价的定义直接使用「同伦于恒等映射」这一关系；没有同伦就没有同伦等价。

来源：Hatcher 2002、Dieck 2008

同伦逆Homotopy Inverse被依赖已审核

同伦逆的定义使用两次映射同伦（左右两个复合），因此依赖同伦关系。

来源：Hatcher 2002

形变收缩Deformation Retract被依赖已审核

形变收缩的定义就是一个同伦 $H: X \times [0,1] \to X$，其终点落在子空间内。

来源：Hatcher 2002

强形变收缩Strong Deformation Retract被依赖已审核

强形变收缩仍是一个同伦，只是附加了固定子空间的条件。

来源：Hatcher 2002

基本群胚Fundamental Groupoid被依赖已审核

基本群胚的态射是道路的（相对于端点的）同伦类，定义直接依赖同伦。

来源：Brown 2006

高阶同伦群Higher Homotopy Group被依赖已审核

$\pi_n$ 的元素是球面映射的同伦类，群结构来自沿赤道的拼接；定义完全建立在同伦之上。

来源：Hatcher 2002

同伦范畴Homotopy Category被依赖已审核

同伦范畴的态射集合就是同伦类集合 $[X, Y]$；范畴的构造完全依赖同伦关系。

来源：Gabriel 1967

构造自constructed_from

基本群Fundamental Group可构造出已审核

$\pi_1(X, x_0)$ 的元素是闭路的相对同伦类：整个构造就是把同伦关系施加到闭路上，再按拼接取群结构。

来源：Hatcher 2002

学习顺序Learning order

教学法上的先后顺序。它不总是逻辑依赖：某些概念可以先学后补证明。

学习前置learning_prerequisite

连续映射Continuous Map学习前置已审核

学习顺序上应先掌握连续映射与乘积拓扑，再进入同伦；这是教学建议，与逻辑依赖一致但不必重复。

来源：Munkres 2000

同伦等价Homotopy Equivalence学习后继已审核

教学上必须先理解映射之间的同伦关系，才能理解空间之间的同伦等价。

来源：Hatcher 2002

基本群Fundamental Group学习后继已审核

学习顺序上需要先掌握同伦（尤其是相对同伦），才能理解为什么拼接只在同伦类层面构成群。

来源：Hatcher 2002

历史脉络

History

2 条

时间线中的每个事件都关联文献来源；标注「待审核」表示书目信息尚未完全核对。

1895
Poincaré 引入基本群
Henri Poincaré
Poincaré 在《Analysis situs》中引入基本群（当时称 groupe fondamental），用它研究三维流形的拓扑。这是代数拓扑的起点之一：空间第一次被系统地对应到一个代数对象，并且这个对应被用于区分空间。

来源：Poincaré 1895已审核
1935–1936
Hurewicz 引入高阶同伦群
Witold Hurewicz
Hurewicz 在《Beiträge zur Topologie der Deformationen》系列中系统研究了映射的同伦，引入高阶同伦群 $π_{n}$ （ $n \geq 2$ ），并给出联系同伦群与同调群的 Hurewicz 定理。高阶同伦群从此成为同伦论的核心对象。

来源：Hurewicz 1935待审核

延伸探索

Extensions

从这里出发可以继续探索的方向，按「直接推广 / 理论应用 / 思想联系 / 现代发展」区分。

直接数学推广

把当前定义的条件放宽、对象替换或维度提升后得到的理论。

同伦等价

把同伦关系用在恒等映射上，就得到同伦等价：不再要求映射相等，只要求复合同伦于恒等。

Hatcher 2002

理论应用

把这里的工具用到其他数学分支中的方向。

基本群

基本群是闭路的同伦类构成的群：同伦在这里从映射之间的关系升级为代数结构。

Hatcher 2002

现代发展

当代研究中的活跃方向，通常需要更多预备知识。

同伦类型论

同伦类型论把「同伦」读进类型论：等词类型解释为道路空间，同伦成为逻辑推理的对象。

Univalent Foundations Program 2013

思想主线

Main Idea

同伦是 20 世纪拓扑学的范畴转向：把「相等」替换为「可以连续变形」。一旦接受这个更粗的等价，洞、绕圈、粘合这些直觉才能被代数捕捉。同伦群、同调、同伦范畴都是这一转向的产物，而「同伦」是把它们串起来的那条底线。

补充笔记

Notes

基本性质

同伦是映射集合 $Top (X, Y)$ 上的等价关系：自反、对称、传递。
与复合相容：若 $f ≃ f^{'}$ 且 $g ≃ g^{'}$ ，则 $g \circ f ≃ g^{'} \circ f^{'}$ （当复合有意义时）。
记 $[X, Y]$ 为 $X \to Y$ 的同伦类集合。同伦论的大量问题可以写成计算 $[X, Y]$ 。

相对同伦

若 $A \subseteq X$ ，并要求 $H (a, t) = f (a) = g (a)$ 对所有 $a \in A$ 、 $t \in [0, 1]$ 成立，则称 $f$ 与 $g$ 相对于 $A$ 同伦，记 $f ≃ g rel A$ 。基本群的定义正是使用了相对于端点的道路同伦。

参考来源

References

9 条

[1]
Allen Hatcher (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press.
专著 · §1.1, §4.1 (Whitehead 定理见 Theorem 4.5)
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf已审核
[2]
Tammo tom Dieck (2008). Algebraic Topology. European Mathematical Society.
专著 · Part II (Homotopy)
已审核
[3]
J. H. C. Whitehead (1949). Combinatorial homotopy I. Bulletin of the American Mathematical Society 55, 213–245.
论文 · 55, 213–245
https://www.ams.org/journals/bull/1949-55-03/S0002-9904-1949-09186-9/已审核
[4]
James R. Munkres (2000). Topology. Prentice Hall (2nd edition).
专著 · Ch. 2 (拓扑空间与连续映射)
已审核
[5]
Ronald Brown (2006). Topology and Groupoids. BookSurge Publishing.
专著 · Ch. 6–9 (群胚与基本群胚)
https://groupoids.org.uk/topgpds.html已审核
[6]
Peter Gabriel, Michel Zisman (1967). Calculus of Fractions and Homotopy Theory. Ergebnisse der Mathematik 35, Springer.
专著 · Part I (局部化与同伦范畴)
已审核
[7]
Henri Poincaré (1895). Analysis situs. Journal de l'École Polytechnique (2) 1, 1–121.
论文 · pp. 1–121
基本群在此文中被引入（当时称 groupe fondamental）。页码按通行引用记录，尚未逐页核对。
待审核
[8]
Witold Hurewicz (1935). Beiträge zur Topologie der Deformationen I. Proceedings of the Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam 38, 112–119.
论文 · 38, 112–119（系列论文 I–IV，1935–1936）
该系列分四部分发表于 1935–1936 年；各部分的卷号与页码尚未逐条核对。
待审核
[9]
The Univalent Foundations Program (2013). Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics. Institute for Advanced Study.
专著 · Ch. 2 (同伦与等价)
https://homotopytypetheory.org/book/已审核

定义

同伦的标准定义

相对于子空间的同伦

前置概念

思想动机

关系网络

历史脉络

Poincaré 引入基本群

Hurewicz 引入高阶同伦群

延伸探索

直接数学推广

理论应用

现代发展

思想主线

补充笔记

基本性质

相对同伦

参考来源