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同伦等价是拓扑空间之间「可以互相连续地形变回去」的等价关系：存在连续映射 f: X → Y 与 g: Y → X ，使得 g ∘ f 同伦于 id X 、 f ∘ g 同伦于 id Y 。 它比同胚宽松，却恰好保留了同伦论关心的全部信息。

两个连续映射 f, g: X → Y 同伦，若存在连续映射 H: X × [0, 1] → Y 使 H(x, 0) = f(x) 、 H(x, 1) = g(x) 。直观上， H 是把 f 连续形变为 g 的一族映射。

以基点 x 0 为端点的闭路，在「相对于端点的同伦」下的同伦类，按道路拼接构成群 π 1(X, x 0) 。它记录空间一维的「绕行方式」，是最基本的代数拓扑不变量。

CW 复形是从离散点集出发，逐维粘上闭球（胞腔）得到的拓扑空间：闭包有限、采用弱拓扑。 它既有组合结构（便于计算），又对连续粘合足够灵活（便于同伦操作）。

设 X, Y 为连通 CW 复形， f: X → Y 连续。若 f 诱导所有同伦群的同构 （ π 1 及所有 π n ），则 f 是同伦等价。

高阶同伦群定义为球面映射的同伦类集合 π n(X, x 0) = [(S n, s 0), (X, x 0)] ， n ≥ 1 。它是一个群，且当 n ≥ 2 时是交换群。

以基点 x 0 为端点的闭路，在「相对于端点的同伦」下的同伦类，按道路拼接构成群 π 1(X, x 0) 。它记录空间一维的「绕行方式」，是最基本的代数拓扑不变量。

基本群胚 Π 1(X) 以 X 的点为对象、以道路的同伦类为态射，构成一个群胚（每个态射都可逆）。 基本群是它在基点处的自同构群。

若恒等映射 id X 同伦于某个常值映射，则称 X 可缩。等价地， X 同伦等价于单点空间， 或者说 X 可以强形变收缩到其中一点。

连续映射是保持拓扑结构的映射：每个开集的原像仍是开集。等价地，每一点的每个邻域都包含该点某个邻域的原像。

模型范畴是带有三类态射——弱等价、纤维化、余纤维化——并满足 Quillen 公理 （提升性质与分解性质）的范畴。它把「同伦」从拓扑空间抽象到任意范畴， 其同伦范畴是弱等价的形式局部化。