同伦论
研究空间与映射在连续形变下的等价性，以及同伦群、同伦范畴、模型范畴等同伦结构的理论。
本领域共 10 个概念。
若恒等映射 id X 同伦于某个常值映射，则称 X 可缩。等价地， X 同伦等价于单点空间， 或者说 X 可以强形变收缩到其中一点。
若形变收缩的整个过程中子空间 A 逐点不动，即 H t| A = id A 对所有 t ∈ [0, 1] 成立， 则称 A 是 X 的强形变收缩核。
连续映射 f: X → Y 称为弱同伦等价，若它诱导所有同伦群 π n （ n ≥ 0 ， π 0 指连通分支集合）的同构。它不要求存在同伦逆。
两个连续映射 f, g: X → Y 同伦，若存在连续映射 H: X × [0, 1] → Y 使 H(x, 0) = f(x) 、 H(x, 1) = g(x) 。直观上， H 是把 f 连续形变为 g 的一族映射。
同伦不变量是把拓扑空间（或映射）对应到代数对象（群、环、模、集合）的构造， 使得同伦等价的空间得到同构的对象、同伦的映射得到相同的对应物。 基本群、高阶同伦群、奇异同调群都是同伦不变量。
同伦等价是拓扑空间之间「可以互相连续地形变回去」的等价关系：存在连续映射 f: X → Y 与 g: Y → X ，使得 g ∘ f 同伦于 id X 、 f ∘ g 同伦于 id Y 。 它比同胚宽松，却恰好保留了同伦论关心的全部信息。
空间 X 的同伦类型是 X 在同伦等价下的等价类。两个空间具有相同的同伦类型当且仅当它们同伦等价； 同伦不变量只依赖同伦类型，而不依赖空间的具体点集结构。
若连续映射 g: Y → X 满足 g ∘ f ≃ id X 且 f ∘ g ≃ id Y ， 则称 g 是 f 的同伦逆。连续映射 f 是同伦等价，当且仅当它拥有同伦逆。
子空间 A ⊆ X 称为 X 的形变收缩核，若存在连续映射 H: X × [0, 1] → X 使 H 0 = id X 且 H 1(X) ⊆ A 。直观上， X 可以连续地「压」到 A 上。
设 X, Y 为连通 CW 复形， f: X → Y 连续。若 f 诱导所有同伦群的同构 （ π 1 及所有 π n ），则 f 是同伦等价。