Concept·Homotopy Theory

形变收缩

Deformation Retract

同伦论已审核1 条定义5 条关系更新于 2026-11-04

别名形变收缩核deformation retraction

子空间 $A \subseteq X$ 称为 $X$ 的形变收缩核，若存在连续映射 $H : X \times [0, 1] \to X$ 使 $H_{0} = id_{X}$ 且 $H_{1} (X) \subseteq A$ 。直观上， $X$ 可以连续地「压」到 $A$ 上。

定义

Definitions

1 条

同一概念可以拥有多条定义：它们可能刻画同一对象的不同侧面（例如标准定义与范畴论刻画）。每条定义都有独立页面与来源。

形变收缩的定义

Definition of Deformation Retract

已审核

设 $A \subseteq X$ 为拓扑空间 $X$ 的子空间。若存在连续映射 $H : X \times [0, 1] \to X$ ，满足：

$H (x, 0) = x$ ，对所有 $x \in X$ ；
$H (x, 1) \in A$ ，对所有 $x \in X$ ；
$H (a, 1) = a$ ，对所有 $a \in A$ ；

则称 $A$ 是 $X$ 的形变收缩核（deformation retract）， $H$ 为从 $X$ 到 $A$ 的形变收缩。

H_{0} = id_{X}, H_{1} (X) \subseteq A, H_{1} ∣_{A} = id_{A} .

成立条件

$A \subseteq X$ ，并取子空间拓扑
$H : X \times [0, 1] \to X$ 连续
$H_{0} = id_{X}$
$H_{1} (X) \subseteq A$
$H_{1} ∣_{A} = id_{A}$

适用对象

拓扑空间拓扑空间的子空间

定义解释

定义要求形变的起点是 X 上的恒等映射，终点是一个将 X 映入 A 的收缩映射，且该终点映射在 A 上限制为恒等映射。

令 r=H_1:X\to A 为终点映射， i:A\to X 为包含映射，则有：

r\circ i=\mathrm{id}_A

i\circ r\simeq\mathrm{id}_X

因此 i 和 r 互为同伦逆，X 与 A 同伦等价。

本定义不要求中间过程 H_t|_A=\mathrm{id}_A。若进一步要求对所有 t\in[0,1]， H_t|_A=\mathrm{id}_A，则称为强形变收缩。

注意数学文献中的术语约定存在差异。例如 Hatcher 的 Algebraic Topology 将要求整个同伦过程中 A 逐点不动的版本称为 deformation retraction。其他文献可能将其称为 strong deformation retraction。阅读时应核对具体定义。

参考来源：3 条（见定义页）

前置概念

Prerequisites

2 条

严格数学前置指「定义中直接使用了对方」；学习前置是教学顺序建议，二者可能不同。所有前置概念都可以点击跳转，并可逐层递归展开。

A严格数学前置

同伦Homotopy 拓扑空间Topological Space

B学习前置

暂无额外学习前置；上列的数学前置同时也是学习起点。

多层前置（最多展开三层，点击三角展开）

拓扑空间Topological Space数学前置

同伦Homotopy数学前置

连续映射Continuous Map数学前置

拓扑空间Topological Space数学前置

思想动机

Motivation

01原本存在的问题

许多空间可以被连续压扁成维数更低、结构更简单的子空间： $R^{n}$ 压到原点、挖去原点的平面压到单位圆。需要把这个操作公理化，才能把复杂空间替换成简单模型而不改变同伦信息。

02原有理论的不足

仅有「收缩」（连续映射 $r : X \to A$ 且 $r ∣_{A} = id_{A}$ ）不够：收缩可以突然把整体压扁，不保证压的过程本身是连续的形变。同伦等价则只说明存在某个同伦逆，不给出显式的形变方向。

03为什么需要引入新概念

把收缩升级为「带时间参数的收缩」：要求 $H_{0} = id_{X}$ 且 $H_{1}$ 落进 $A$ 。

04新概念解决了什么

形变收缩给出一个显式的同伦等价 $X ≃ A$ （包含映射 $i : A \to X$ 的同伦逆由 $H_{1}$ 给出），因此 $A$ 与 $X$ 共享全部同伦不变量。计算空间时可以先把它形变收缩到简单的模型上。

关系网络

Relations

5 条

关系按类型分开记录：逻辑依赖、学习顺序、推广与特例、应用、思想联系、历史影响。下图以本概念为中心，点击节点可展开邻居，双击节点打开对应概念页。

数学前置依赖
学习前置
推广
特殊情形
等价
构造自
应用于
在……下不变
思想联系
思想启发
历史影响
|
同伦论
代数拓扑
一般拓扑
群论
范畴论与同调代数
数学基础
几何群论

在全局关系图中查看 →

逻辑与结构关系Logical / structural

由数学定义本身决定的关系：谁依赖谁、谁推广谁、谁与谁等价。这类关系与学习者无关。

数学前置依赖requires

同伦Homotopy数学前置依赖已审核

形变收缩的定义就是一个同伦 $H: X \times [0,1] \to X$，其终点落在子空间内。

来源：Hatcher 2002

拓扑空间Topological Space数学前置依赖已审核

形变收缩讨论的是拓扑空间及其子空间，需要子空间拓扑与乘积拓扑。

来源：Spanier 1966

特殊情形special_case_of

强形变收缩Strong Deformation Retract有特例已审核

强形变收缩在形变收缩的基础上增加了「$A$ 逐点固定」的条件，因此是形变收缩的特殊情形。

成立条件：需额外满足 $H_t|_A = \mathrm{id}_A$ 对所有 $t$ 成立

来源：Hatcher 2002、Dieck 2008

思想联系Conceptual connection

不构成严格逻辑依赖，但在思想史或方法论上互相照亮的关系。

思想联系conceptual_connection

同伦等价Homotopy Equivalence思想联系已审核

形变收缩是产生同伦等价的标准手段：若 $A$ 是 $X$ 的形变收缩核，则包含映射 $A \hookrightarrow X$ 是同伦等价。反向不成立：同伦等价未必来自形变收缩。

来源：Hatcher 2002

可缩空间Contractible Space思想联系已审核

可缩空间恰是能形变收缩到某一点的空间；形变收缩提供了可缩性的构造性刻画，但两者不是同一个概念。

来源：Hatcher 2002、Munkres 2000

历史脉络

History

0 条

历史事件待补充本概念尚未录入可追溯来源的历史事件；不编造年代与人物。

延伸探索

Extensions

从这里出发可以继续探索的方向，按「直接推广 / 理论应用 / 思想联系 / 现代发展」区分。

直接数学推广

把当前定义的条件放宽、对象替换或维度提升后得到的理论。

强形变收缩

加强要求「$A$ 在整个形变过程中逐点不动」，就得到强形变收缩。

Hatcher 2002

理论应用

把这里的工具用到其他数学分支中的方向。

基本群

若 $A$ 是 $X$ 的形变收缩核，则 $\pi_1(A) \cong \pi_1(X)$；这提供了大量基本群计算。

Hatcher 2002

思想主线

Main Idea

形变收缩是「同伦等价」的构造性版本：它不只断言两个空间等价，还给出把大空间压小的具体过程。它的价值在于把计算问题转化为化简问题——先把空间压到骨架上，再计算不变量。

补充笔记

Notes

术语约定（重要）

不同教材对「形变收缩」是否要求 $A$ 逐点固定并不一致：

本知识库的约定：形变收缩只要求 $H_{1} (X) \subseteq A$ ，不要求 $H_{t} ∣_{A} = id_{A}$ 。
Hatcher 的《Algebraic Topology》把要求 $H_{t} ∣_{A} = id_{A}$ 的版本直接称为 deformation retraction。按本知识库的命名，那其实是强形变收缩。

因此阅读文献时必须核对定义，尤其是在使用「 $A$ 是形变收缩核」这句话时。

与同伦等价的关系

若 $A$ 是 $X$ 的形变收缩核，取 $r = H_{1} : X \to A$ 、 $i : A ↪ X$ ，则

i \circ r = H_{1} ≃ H_{0} = id_{X}, r \circ i = H_{1} ∣_{A} ≃ id_{A} .

所以 $i$ 与 $r$ 互为同伦逆， $X ≃ A$ 。注意这里 $r$ 未必是严格收缩（不要求 $r ∣_{A} = id_{A}$ ）。

参考来源

References

4 条

[1]
Allen Hatcher (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press.
专著 · §1.1, §4.1 (Whitehead 定理见 Theorem 4.5)
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf已审核
[2]
Tammo tom Dieck (2008). Algebraic Topology. European Mathematical Society.
专著 · Part II (Homotopy)
已审核
[3]
Edwin H. Spanier (1966). Algebraic Topology. McGraw-Hill.
专著 · Ch. 1–4
已审核
[4]
James R. Munkres (2000). Topology. Prentice Hall (2nd edition).
专著 · Ch. 2 (拓扑空间与连续映射)
已审核