拓扑空间是带有一族「开集」的集合，开集族对有限交与任意并封闭。它把「邻近」从距离中抽象出来， 使连续、紧、连通等概念可以在没有度量的对象上讨论。
同一概念可以拥有多条定义：它们可能刻画同一对象的不同侧面（例如标准定义与范畴论刻画）。 每条定义都有独立页面与来源。
设 为集合， 为 的子集族。若
则称 为 上的一个拓扑， 为拓扑空间， 中的元素称为开集。
成立条件
是 的子集族
包含空集与全集
对任意并封闭
对有限交封闭
适用对象
定义解释
三条公理分别对应「拓扑必须至少包含平凡的开集」「开集的并仍是开集」「开集的交仍是开集」。 它们是从度量空间的开集性质中提炼出来的最小要求，不涉及距离。 由开集可以定义闭集（补集）、邻域、内部、闭包，从而展开整个点集拓扑。
参考来源：1 条（见定义页）
严格数学前置指「定义中直接使用了对方」；学习前置是教学顺序建议，二者可能不同。 所有前置概念都可以点击跳转，并可逐层递归展开。
无（本概念的定义不依赖其他概念）。
暂无额外学习前置；上列的数学前置同时也是学习起点。
19 世纪的分析学用 ε-δ 定义连续与极限，而这要求集合上先有距离。但许多数学对象并没有自然的度量： 商空间、函数空间、代数簇上的 Zariski 拓扑、以及不交并的粘合结果。
度量空间框架无法表达这些结构；更重要的是，ε-δ 把「靠近」绑定在具体数值上，掩盖了连续性其实只依赖 「哪些子集是开的」这一组合事实。
用一族开集代替距离，只保留邻域的信息。开集公理（含空集与全集、对有限交封闭、对任意并封闭） 正是从度量空间开集的性质中提炼出来的最小要求。
连续映射、紧性、连通性、收敛与分离性都可以只用开集表述；度量空间成为特例，而商空间、乘积空间、 函数空间获得了统一处理。拓扑空间由此成为连续形变可以被讨论的舞台。
关系按类型分开记录：逻辑依赖、学习顺序、推广与特例、应用、思想联系、历史影响。 下图以本概念为中心，点击节点可展开邻居，双击节点打开对应概念页。
由数学定义本身决定的关系：谁依赖谁、谁推广谁、谁与谁等价。这类关系与学习者无关。
requires教学法上的先后顺序。它不总是逻辑依赖：某些概念可以先学后补证明。
learning_prerequisite从这里出发可以继续探索的方向，按「直接推广 / 理论应用 / 思想联系 / 现代发展」区分。
拓扑空间的意义大半在于使「连续映射」可定义：空间是对象，连续映射是态射。
Munkres 2000
拓扑群在拓扑空间上的作用是几何群论的基本对象：群通过空间实现自身。
Brown 2006
CW 复形是用胞腔逐维拼出的「组合化」拓扑空间。代数拓扑通常把注意力限制在这类空间上， 以避免点集拓扑的病态例子。
Hatcher 2002
拓扑学的第一步是把「形状」中与距离无关的部分分离出来。拓扑空间用开集记录「哪些点可以靠多近」， 从而使连续形变成为可讨论的对象。它不是代数拓扑的终点，而是让同伦、同调这些不变量得以定义的舞台： 没有开集，就没有连续性；没有连续性，就没有同伦。
拓扑空间的定义方式不止一种：开集公理、闭集公理、邻域公理、闭包算子（Kuratowski 公理）彼此等价。 本知识库采用开集公理，因为连续映射的定义最直接。
同伦论中的许多定理（Whitehead 定理、CW 逼近）需要空间「足够好」。常见做法是假设空间为 紧生成弱 Hausdorff（CGWH），或直接把对象限制为 CW 复形。本知识库在涉及这些定理时会明确写出假设， 而不是默认所有拓扑空间都满足。