同伦等价是拓扑空间之间「可以互相连续地形变回去」的等价关系：存在连续映射 与 ，使得 同伦于 、 同伦于 。 它比同胚宽松，却恰好保留了同伦论关心的全部信息。
同一概念可以拥有多条定义：它们可能刻画同一对象的不同侧面（例如标准定义与范畴论刻画）。 每条定义都有独立页面与来源。
设 为拓扑空间， 为连续映射。 若存在连续映射 ，使得 同伦于 ，且 同伦于 ， 则称 为同伦等价， 为 的一个同伦逆。 此时称 与 同伦等价，记作 。
成立条件
、 为拓扑空间
、 连续
两处同伦均为映射同伦（不要求相对于子空间）
不要求
适用对象
定义解释
关键在「」而不是「」。同胚要求两个复合严格等于恒等映射； 同伦等价只要求它们同伦于恒等映射，因此允许压缩、拉伸与维数塌缩。 这一放宽使 与单点、 与 成为同一类。 逐条核对： 与恒等映射的同伦被称为「左同伦」， 的称为「右同伦」； 二者缺一不可，否则只能得到「同伦可逆」的单侧信息。
参考来源：3 条（见定义页）
设 为拓扑空间的同伦范畴：对象为拓扑空间，态射为连续映射的同伦类。 则连续映射 是同伦等价，当且仅当它在 中的同伦类 是范畴论意义上的同构，即存在 使 且 。
成立条件
同伦范畴的态射集合为同伦类集合
复合由同伦类的复合定义（同伦与复合相容，故良定义）
适用对象
定义解释
这个定义把同伦等价从「存在同伦逆」翻译为「在同伦范畴中可逆」。 两种表述等价，但后者揭示了同伦等价的范畴论地位：它不是拓扑空间之间的某种特殊关系， 而就是同伦范畴的同构。这也解释了为什么同伦不变量可以看成同伦范畴上的函子。
参考来源：2 条（见定义页）
严格数学前置指「定义中直接使用了对方」；学习前置是教学顺序建议，二者可能不同。 所有前置概念都可以点击跳转，并可逐层递归展开。
暂无额外学习前置；上列的数学前置同时也是学习起点。
多层前置（最多展开三层，点击三角展开）
拓扑学最初的目标是按同胚分类空间，但这一目标几乎不可行：仅二维闭曲面就需要一整套分类定理， 更高维则远未解决。而许多不同胚的空间在直觉上携带相同的「洞」——平面与单点、 挖去一点的平面与圆周——它们应当被视为同一种形状。
同胚要求严格的双向连续逆映射。这既太刚硬（不允许压缩维度），又无法表达「逆只到形变为止」 的直觉。若用同胚作等价关系，添加一个可缩的「多余部分」就会改变等价类， 而同伦论真正关心的信息并未改变。
把恒等映射放松为「同伦于恒等映射」：不要求 ，只要求 。等价关系由同胚放宽为同伦等价。
得到 上的同伦等价关系，它精确刻画了空间的同伦类型：可缩性、洞的数量、 各阶同伦群都只依赖同伦类型。Whitehead 定理给出 CW 复形上的可判定刻画（弱同伦等价）， 同伦范畴则把同伦等价变成范畴论意义上的同构。
关系按类型分开记录：逻辑依赖、学习顺序、推广与特例、应用、思想联系、历史影响。 下图以本概念为中心，点击节点可展开邻居，双击节点打开对应概念页。
由数学定义本身决定的关系：谁依赖谁、谁推广谁、谁与谁等价。这类关系与学习者无关。
requires类型等价被定义为存在双向映射且两复合同伦于恒等，这逐字对应同伦等价。
generalizesequivalent_to两者是同一概念的两个层面：f 是同伦等价当且仅当 f 拥有同伦逆。该等价逐字由定义得到。
成立条件：同伦逆 g 只需满足两个复合同伦于恒等映射，不要求相等
教学法上的先后顺序。它不总是逻辑依赖：某些概念可以先学后补证明。
learning_prerequisite一个概念被用于研究另一个对象，或某类结构在变换下保持不变。
invariant_under不构成严格逻辑依赖，但在思想史或方法论上互相照亮的关系。
conceptual_connection同伦等价之所以重要，是因为它恰好是所有同伦不变量共同的等价关系：不变量在同伦等价下不变，同伦等价由不变量刻画（CW 情形）。
形变收缩是产生同伦等价的标准手段：若 $A$ 是 $X$ 的形变收缩核，则包含映射 $A \hookrightarrow X$ 是同伦等价。反向不成立：同伦等价未必来自形变收缩。
来源：Hatcher 2002
Whitehead 定理给出同伦等价的可检验判据，并把「弱同伦等价」与「同伦等价」在 CW 复形上等同起来。
一个概念在历史中促成、启发了另一个概念的诞生。属于史实关系，不属于数学推导。
historical_influenceQuillen 的公理化动机之一是把拓扑空间中的同伦等价（以及链复形的拟同构）统一为「弱等价」，从而把同伦论搬到任意范畴。
来源：Quillen 1967
时间线中的每个事件都关联文献来源；标注「待审核」表示书目信息尚未完全核对。
Whitehead 在《Combinatorial homotopy I》中系统引入 CW 复形（当时称「胞腔复形」的雏形）， 并证明：连通 CW 复形之间，若一个映射诱导所有同伦群的同构，则它是同伦等价。 该结果即 Whitehead 定理，它确立了 CW 复形作为同伦论标准对象类的地位。
Quillen 在《Homotopical Algebra》中提出模型范畴的公理系统： 用弱等价、纤维化、余纤维化三类态射刻画「同伦」，并由此构造同伦范畴。 同伦论从此不再依赖区间 ，可以被搬到链复形、单纯集与更一般的范畴上。
《Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics》出版， 系统阐述类型—空间对应、等词类型作为道路空间、以及单价公理。 这使「同伦等价」从拓扑学的概念变成可以直接在证明助手中形式化的基础原则。
从这里出发可以继续探索的方向，按「直接推广 / 理论应用 / 思想联系 / 现代发展」区分。
弱同伦等价只要求诱导所有同伦群的同构，不要求存在同伦逆。它比同伦等价更弱； Whitehead 定理说明在 CW 复形之间两者一致。
Hatcher 2002
同伦不变量的定义就是「在同伦等价下不变」。同伦等价为所有不变量提供了共同的等价关系。
Dieck 2008
Whitehead 定理给出同伦等价的同伦群刻画：在 CW 复形之间，弱同伦等价即同伦等价。
Whitehead 1949、Hatcher 2002
在同伦范畴 $\mathrm{Ho}(\mathbf{Top})$ 中，同伦等价恰好是同构；等价关系被提升为范畴结构。
Gabriel 1967
同伦等价是把「空间相等」替换为「空间可以互相形变」的等价关系。它让拓扑学从分类空间本身， 转向分类空间在同伦意义下的型；一旦接受了这个更粗的等价，洞与绕圈就变成了可以计算的代数对象。 可以说，代数拓扑的每一个不变量，都是为了回答「两个空间是否同伦等价」而发明的。
同伦等价允许维数「塌缩」，因此远弱于同胚。上面第一个例子中 与单点不同胚 （去心之后连通性不同），却同伦等价。这也说明：同伦不变量无法区分不同胚但同伦等价的空间， 它测量的从来不是同胚类型。
同伦等价是等价关系：自反（恒等映射）、对称（交换 与 ）、传递（复合两个同伦等价仍是同伦等价）。 传递性的证明需要用到「同伦的复合仍同伦」以及 的连续性。