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同伦等价的标准定义

Standard Definition of Homotopy Equivalence

所属概念：同伦等价已审核ID：def-homotopy-equivalence-standard

严格数学表述

Statement

设 $X, Y$ 为拓扑空间， $f : X \to Y$ 为连续映射。若存在连续映射 $g : Y \to X$ ，使得 $g \circ f$ 同伦于 $id_{X}$ ，且 $f \circ g$ 同伦于 $id_{Y}$ ，则称 $f$ 为同伦等价， $g$ 为 $f$ 的一个同伦逆。此时称 $X$ 与 $Y$ 同伦等价，记作 $X ≃ Y$ 。

g \circ f ≃ id_{X}, f \circ g ≃ id_{Y}

成立条件与适用对象

Conditions & Scope

成立条件

$X$ 、 $Y$ 为拓扑空间
$f$ 、 $g$ 连续
两处同伦均为映射同伦（不要求相对于子空间）
不要求 $g \circ f = id_{X}$

适用对象

拓扑空间连续映射

定义解释

Explanation

关键在「 $≃$ 」而不是「 $=$ 」。同胚要求两个复合严格等于恒等映射；同伦等价只要求它们同伦于恒等映射，因此允许压缩、拉伸与维数塌缩。这一放宽使 $R^{n}$ 与单点、 $R^{2} ∖ {0}$ 与 $S^{1}$ 成为同一类。逐条核对： $g \circ f$ 与恒等映射的同伦被称为「左同伦」， $f \circ g$ 的称为「右同伦」；二者缺一不可，否则只能得到「同伦可逆」的单侧信息。

前置概念

Prerequisites

3 个

拓扑空间Topological Space 连续映射Continuous Map 同伦Homotopy

参考来源

References

3 条

[1]
Allen Hatcher (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press.
专著 · §1.1, §4.1 (Whitehead 定理见 Theorem 4.5)
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf已审核
[2]
Tammo tom Dieck (2008). Algebraic Topology. European Mathematical Society.
专著 · Part II (Homotopy)
已审核
[3]
J. H. C. Whitehead (1949). Combinatorial homotopy I. Bulletin of the American Mathematical Society 55, 213–245.
论文 · 55, 213–245
https://www.ams.org/journals/bull/1949-55-03/S0002-9904-1949-09186-9/已审核