Definition·独立条目

同伦范畴中的同构刻画

Homotopy Equivalence as Isomorphism in the Homotopy Category

所属概念：同伦等价已审核ID：def-homotopy-equivalence-homotopy-category

严格数学表述

Statement

设 $Ho (Top)$ 为拓扑空间的同伦范畴：对象为拓扑空间，态射为连续映射的同伦类。则连续映射 $f : X \to Y$ 是同伦等价，当且仅当它在 $Ho (Top)$ 中的同伦类 $[f] : X \to Y$ 是范畴论意义上的同构，即存在 $[g] : Y \to X$ 使 $[g] \circ [f] = [id_{X}]$ 且 $[f] \circ [g] = [id_{Y}]$ 。

[g] \circ [f] = [id_{X}], [f] \circ [g] = [id_{Y}]

成立条件与适用对象

Conditions & Scope

成立条件

同伦范畴的态射集合为同伦类集合 $[X, Y]$
复合由同伦类的复合定义（同伦与复合相容，故良定义）

适用对象

同伦范畴中的对象与态射

定义解释

Explanation

这个定义把同伦等价从「存在同伦逆」翻译为「在同伦范畴中可逆」。两种表述等价，但后者揭示了同伦等价的范畴论地位：它不是拓扑空间之间的某种特殊关系，而就是同伦范畴的同构。这也解释了为什么同伦不变量可以看成同伦范畴上的函子。

前置概念

Prerequisites

2 个

同伦等价Homotopy Equivalence 同伦范畴Homotopy Category

参考来源

References

2 条

[1]
Peter Gabriel, Michel Zisman (1967). Calculus of Fractions and Homotopy Theory. Ergebnisse der Mathematik 35, Springer.
专著 · Part I (局部化与同伦范畴)
已审核
[2]
Tammo tom Dieck (2008). Algebraic Topology. European Mathematical Society.
专著 · Part II (Homotopy)
已审核