同伦范畴 以拓扑空间为对象、以连续映射的同伦类为态射。 同伦等价恰好是其中的同构，因此它是研究同伦不变量的自然场所。
同一概念可以拥有多条定义：它们可能刻画同一对象的不同侧面（例如标准定义与范畴论刻画）。 每条定义都有独立页面与来源。
同伦范畴 定义如下： 对象为拓扑空间；对对象 ，态射集合为连续映射的同伦类集合 ； 态射的复合定义为 。 由于同伦与复合相容（、 蕴含 ）， 复合良定义，且满足范畴公理。
成立条件
同伦类的复合良定义（依赖同伦与复合的相容性）
不要求对象做什么限制
适用对象
定义解释
同伦范畴不是对对象取商，而是对态射取商。 这样做的好处是：对象仍然保留，构造（乘积、映射空间）仍可谈论， 而等价关系被吸收进态射，于是同伦等价成为同构。
参考来源：2 条（见定义页）
严格数学前置指「定义中直接使用了对方」；学习前置是教学顺序建议，二者可能不同。 所有前置概念都可以点击跳转，并可逐层递归展开。
暂无额外学习前置；上列的数学前置同时也是学习起点。
多层前置（最多展开三层，点击三角展开）
同伦等价是拓扑空间上的等价关系，但范畴论的语言（函子、伴随、局部化）需要「同构」。 在 中同伦等价并不是同构，因此同伦论无法直接使用范畴论工具。
直接对 取商会遇到技术困难：映射空间、乘积等构造只在同伦意义下兼容， 朴素地取商不一定得到良定义的范畴结构。
把态射集合替换为同伦类集合：。 等价关系被吸收进态射的定义，而不是对对象取商。
同伦不变量成为从 出发的函子；Gabriel–Zisman 与 Quillen 用局部化与模型范畴把这一构造公理化，推广到链复形、单纯集等对象。
关系按类型分开记录：逻辑依赖、学习顺序、推广与特例、应用、思想联系、历史影响。 下图以本概念为中心，点击节点可展开邻居，双击节点打开对应概念页。
由数学定义本身决定的关系：谁依赖谁、谁推广谁、谁与谁等价。这类关系与学习者无关。
requires一个概念被用于研究另一个对象，或某类结构在变换下保持不变。
applies_to不构成严格逻辑依赖，但在思想史或方法论上互相照亮的关系。
conceptual_connection时间线中的每个事件都关联文献来源；标注「待审核」表示书目信息尚未完全核对。
Kan 引入满足「角填充条件」的单纯集（后称 Kan 复形），使得同伦群可以在纯组合的 层面定义，而不必依赖拓扑空间。这开启了抽象同伦论：同伦结构可以被编码在组合数据中， 为后来的单纯集模型与模型范畴理论铺路。
Gabriel 与 Zisman 在《Calculus of Fractions and Homotopy Theory》中系统发展了 范畴关于一族态射的局部化（分式计算），并说明如何把弱等价形式地变成同构。 这为「同伦范畴 = 局部化」提供了严格基础，也影响了后来模型范畴的同伦范畴构造。
Quillen 在《Homotopical Algebra》中提出模型范畴的公理系统： 用弱等价、纤维化、余纤维化三类态射刻画「同伦」，并由此构造同伦范畴。 同伦论从此不再依赖区间 ，可以被搬到链复形、单纯集与更一般的范畴上。
从这里出发可以继续探索的方向，按「直接推广 / 理论应用 / 思想联系 / 现代发展」区分。
模型范畴用一个公理系统在任意范畴中构造同伦范畴（形式局部化），是本案的推广。
Quillen 1967、Hovey 1999
同伦不变量可以等价地重新定义为从同伦范畴出发的函子；这使「不变量」成为范畴论概念。
Dieck 2008
同伦范畴把「同伦等价」从等价关系升级为范畴结构。它的意义在于：同伦论不再只是不变量清单， 而是一个可以自由使用范畴论工具的世界；模型范畴则把这个世界的构造机械化。
的对象是拓扑空间；态射是连续映射的同伦类：
态射的复合良定义，因为同伦与复合相容。
是同伦等价当且仅当 在 中可逆。 这是同伦范畴最重要的性质：它把「等价关系」变成「范畴结构」，从而可以谈论函子的本质像、 伴随、局部化等概念。
Quillen 的模型范畴给出了在一般范畴中构造同伦范畴的机器； Gabriel–Zisman 的局部化理论说明了何时可以用「分式」的语言把弱等价变成同构。