同伦不变量是把拓扑空间（或映射）对应到代数对象（群、环、模、集合）的构造， 使得同伦等价的空间得到同构的对象、同伦的映射得到相同的对应物。 基本群、高阶同伦群、奇异同调群都是同伦不变量。
同一概念可以拥有多条定义：它们可能刻画同一对象的不同侧面（例如标准定义与范畴论刻画）。 每条定义都有独立页面与来源。
设 把拓扑空间对应到某个范畴中的对象，把连续映射对应到态射。 若对任意同伦的映射 都有 ， 则称 为同伦不变函子（同伦不变量）。 此时同伦等价的空间满足 。
成立条件
在映射层面良定义
与复合、恒等相容（函子性）
适用对象
定义解释
「同伦不变」有两种等价表述：在映射层面，同伦的映射被送到相同的态射； 在空间层面，同伦等价被送到同构。第二种是实际使用中最常见的形式， 也是判定「两个空间不同伦等价」的依据：只要某个不变量不同构，就不可能同伦等价。
参考来源：2 条（见定义页）
严格数学前置指「定义中直接使用了对方」；学习前置是教学顺序建议，二者可能不同。 所有前置概念都可以点击跳转，并可逐层递归展开。
暂无额外学习前置；上列的数学前置同时也是学习起点。
多层前置（最多展开三层，点击三角展开）
要判断两个空间是否同伦等价，直接构造同伦逆通常不可行。需要一种「只依赖同伦类型」的标签： 如果两个空间的标签不同，它们就不同伦等价。
点集拓扑的性质（基数、紧性、维数）大多不是同伦不变量，它们会随着「加一个可缩部分」而改变， 因此无法用于同伦分类。
要求构造 在同伦等价的映射上取同构：， 从而 。
同伦不变量给出可计算的判别法： 区分环面与球面，同调群区分更多空间， 而 Whitehead 定理说明在 CW 复形上「所有同伦群」是完备的。
关系按类型分开记录：逻辑依赖、学习顺序、推广与特例、应用、思想联系、历史影响。 下图以本概念为中心，点击节点可展开邻居，双击节点打开对应概念页。
由数学定义本身决定的关系：谁依赖谁、谁推广谁、谁与谁等价。这类关系与学习者无关。
requires不构成严格逻辑依赖，但在思想史或方法论上互相照亮的关系。
conceptual_connection同伦等价之所以重要，是因为它恰好是所有同伦不变量共同的等价关系：不变量在同伦等价下不变，同伦等价由不变量刻画（CW 情形）。
从这里出发可以继续探索的方向，按「直接推广 / 理论应用 / 思想联系 / 现代发展」区分。
基本群是最基本的同伦不变量：同一维的洞，能区分环面与球面。
Hatcher 2002
同调群是同伦不变量，且比同伦群更易计算，是代数拓扑的主要计算工具。
Hatcher 2002
同伦不变量可以等价地定义为从同伦范畴 $\mathrm{Ho}(\mathbf{Top})$ 出发的函子。
Gabriel 1967
同伦不变量是代数拓扑的全部产出物。它们的功能不是描述空间，而是把「是否同伦等价」翻译成 「代数对象是否同构」，从而让拓扑问题变成可计算的问题。不变量越强，能区分的同伦类型越多。
若 ，则任何同伦不变构造都给出 。 因此同伦不变量无法区分同伦等价但不同胚的空间——这并不是缺陷，而是设计的意图。
这三者之间的张力，构成了代数拓扑的核心问题域。