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同伦不变量的定义

Definition of Homotopy Invariant

所属概念：同伦不变量已审核ID：def-homotopy-invariant

严格数学表述

Statement

设 $F$ 把拓扑空间对应到某个范畴中的对象，把连续映射对应到态射。若对任意同伦的映射 $f ≃ g$ 都有 $F (f) = F (g)$ ，则称 $F$ 为同伦不变函子（同伦不变量）。此时同伦等价的空间满足 $F (X) ≅ F (Y)$ 。

f ≃ g ⟹ F (f) = F (g)

Conditions & Scope

成立条件

适用对象

从拓扑空间范畴出发的函子

Explanation

「同伦不变」有两种等价表述：在映射层面，同伦的映射被送到相同的态射；在空间层面，同伦等价被送到同构。第二种是实际使用中最常见的形式，也是判定「两个空间不同伦等价」的依据：只要某个不变量不同构，就不可能同伦等价。

Prerequisites

2 个

References

2 条

[1]
Allen Hatcher (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press.
专著 · §1.1, §4.1 (Whitehead 定理见 Theorem 4.5)
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf已审核
[2]
Tammo tom Dieck (2008). Algebraic Topology. European Mathematical Society.
专著 · Part II (Homotopy)
已审核