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同伦范畴的定义

Definition of the Homotopy Category

所属概念：同伦范畴已审核ID：def-homotopy-category

严格数学表述

Statement

同伦范畴 $Ho (Top)$ 定义如下：对象为拓扑空间；对对象 $X, Y$ ，态射集合为连续映射的同伦类集合 $[X, Y]$ ；态射的复合定义为 $[g] \circ [f] := [g \circ f]$ 。由于同伦与复合相容（ $f ≃ f^{'}$ 、 $g ≃ g^{'}$ 蕴含 $g \circ f ≃ g^{'} \circ f^{'}$ ），复合良定义，且满足范畴公理。

Hom_{Ho (Top)} (X, Y) = [X, Y]

成立条件与适用对象

Conditions & Scope

成立条件

同伦类的复合良定义（依赖同伦与复合的相容性）
不要求对象做什么限制

适用对象

拓扑空间范畴

定义解释

Explanation

同伦范畴不是对对象取商，而是对态射取商。这样做的好处是：对象仍然保留，构造（乘积、映射空间）仍可谈论，而等价关系被吸收进态射，于是同伦等价成为同构。

前置概念

Prerequisites

2 个

同伦Homotopy 同伦等价Homotopy Equivalence

参考来源

References

2 条

[1]
Peter Gabriel, Michel Zisman (1967). Calculus of Fractions and Homotopy Theory. Ergebnisse der Mathematik 35, Springer.
专著 · Part I (局部化与同伦范畴)
已审核
[2]
Tammo tom Dieck (2008). Algebraic Topology. European Mathematical Society.
专著 · Part II (Homotopy)
已审核