模型范畴是带有三类态射——弱等价、纤维化、余纤维化——并满足 Quillen 公理 （提升性质与分解性质）的范畴。它把「同伦」从拓扑空间抽象到任意范畴， 其同伦范畴是弱等价的形式局部化。
同一概念可以拥有多条定义：它们可能刻画同一对象的不同侧面（例如标准定义与范畴论刻画）。 每条定义都有独立页面与来源。
一个模型范畴是范畴 ，配有三位一体的态射类 （弱等价、纤维化、余纤维化），满足：
其同伦范畴是 关于 的形式局部化 。
成立条件
范畴具备有限极限与余极限
三类态射满足上述公理
同伦范畴的存在性依赖局部化的技术条件
适用对象
定义解释
「弱等价」是同伦意义下应当可逆的态射；「纤维化」与「余纤维化」规定了哪些对象适合做极限与余极限。 提升性质与分解性质保证可以像处理 CW 复形那样「逐层」构造同伦。 这套公理抽象掉了区间 ，因此可以搬到链复形、单纯集、代数几何等场景。
参考来源：2 条（见定义页）
严格数学前置指「定义中直接使用了对方」；学习前置是教学顺序建议，二者可能不同。 所有前置概念都可以点击跳转，并可逐层递归展开。
无（本概念的定义不依赖其他概念）。
暂无额外学习前置；上列的数学前置同时也是学习起点。
同伦论的方法在拓扑空间、链复形、单纯集、代数几何与类型论中反复出现， 但每一处都要重新证明同类的定理，缺少统一语言。
「同伦」原本依赖 这个具体区间，只对拓扑空间有意义； 在链复形或单纯集中没有现成的区间对象，无法直接搬运同伦构造。
Quillen 把同伦的功能抽象出来：弱等价（同伦意义下可逆的态射）、 纤维化（允许提升的态射）、余纤维化（允许延拓的态射），用提升与分解公理约束它们。
每个模型范畴都有同伦范畴（形式局部化）；同伦极限、导出函子、谱序列获得统一定义。 同伦论由此成为一套可移植的代数技术。
关系按类型分开记录：逻辑依赖、学习顺序、推广与特例、应用、思想联系、历史影响。 下图以本概念为中心，点击节点可展开邻居，双击节点打开对应概念页。
一个概念被用于研究另一个对象，或某类结构在变换下保持不变。
applies_to不构成严格逻辑依赖，但在思想史或方法论上互相照亮的关系。
conceptual_connection两者都试图为「同伦结构」提供基础语言：模型范畴是外部的范畴论框架，同伦类型论是内部的类型论语言。
一个概念在历史中促成、启发了另一个概念的诞生。属于史实关系，不属于数学推导。
historical_influenceQuillen 的公理化动机之一是把拓扑空间中的同伦等价（以及链复形的拟同构）统一为「弱等价」，从而把同伦论搬到任意范畴。
来源：Quillen 1967
时间线中的每个事件都关联文献来源；标注「待审核」表示书目信息尚未完全核对。
Kan 引入满足「角填充条件」的单纯集（后称 Kan 复形），使得同伦群可以在纯组合的 层面定义，而不必依赖拓扑空间。这开启了抽象同伦论：同伦结构可以被编码在组合数据中， 为后来的单纯集模型与模型范畴理论铺路。
Gabriel 与 Zisman 在《Calculus of Fractions and Homotopy Theory》中系统发展了 范畴关于一族态射的局部化（分式计算），并说明如何把弱等价形式地变成同构。 这为「同伦范畴 = 局部化」提供了严格基础，也影响了后来模型范畴的同伦范畴构造。
Quillen 在《Homotopical Algebra》中提出模型范畴的公理系统： 用弱等价、纤维化、余纤维化三类态射刻画「同伦」，并由此构造同伦范畴。 同伦论从此不再依赖区间 ，可以被搬到链复形、单纯集与更一般的范畴上。
Grothendieck 在未正式出版的手稿《Pursuing Stacks》中提出以 -群胚刻画同伦型的纲领 （即「同伦假设」），并倡议发展高阶范畴与同伦代数。这条线索后来与同伦类型论的高阶结构观汇合。
从这里出发可以继续探索的方向，按「直接推广 / 理论应用 / 思想联系 / 现代发展」区分。
模型范畴的主要产出就是同伦范畴：把弱等价形式地变成同构。
Quillen 1967
拓扑空间的模型结构以弱同伦等价为弱等价、以 Serre 纤维化为纤维化， 此时同伦范畴正是 $\mathrm{Ho}(\mathbf{Top})$。
Hovey 1999
homotopy type theory 与模型范畴共享「弱等价 + 高阶结构」的问题意识， 但前者是内部的类型论语言，后者是外部的范畴论框架。
Univalent Foundations Program 2013
模型范畴是「同伦论的公理化」。它不再问「空间能否形变」，而问「哪些态射应当被视为可逆、 哪些对象适合做构造」。这一转向使同伦方法脱离了拓扑空间，成为现代数学的通用语言。
一个模型范畴需满足：
在 上取弱等价为弱同伦等价、纤维化为 Serre 纤维化， 即得到一个模型范畴，其同伦范畴与 等价。