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Concept·Homotopy Theory

同伦逆

Homotopy Inverse

同伦论已审核1 条定义2 条关系更新于 2026-11-04

别名同伦逆映射homotopy inverse map

若连续映射 $g : Y \to X$ 满足 $g \circ f ≃ id_{X}$ 且 $f \circ g ≃ id_{Y}$ ，则称 $g$ 是 $f$ 的同伦逆。连续映射 $f$ 是同伦等价，当且仅当它拥有同伦逆。

定义

Definitions

1 条

同一概念可以拥有多条定义：它们可能刻画同一对象的不同侧面（例如标准定义与范畴论刻画）。每条定义都有独立页面与来源。

同伦逆的定义

Definition of Homotopy Inverse

已审核

设 $f : X \to Y$ 为连续映射。若存在连续映射 $g : Y \to X$ 使得 $g \circ f ≃ id_{X}$ 且 $f \circ g ≃ id_{Y}$ ，则称 $g$ 为 $f$ 的同伦逆，并称 $f$ 为同伦等价。

g \circ f ≃ id_{X}, f \circ g ≃ id_{Y}

成立条件

$X$ 、 $Y$ 为拓扑空间
$g$ 连续
同伦不要求相对于任何子空间

适用对象

连续映射

定义解释

「同伦逆」与「同伦等价」是同一件事的两种说法：前者强调逆映射的存在，后者强调空间之间的等价关系。若 $g$ 与 $g^{'}$ 都是 $f$ 的同伦逆，则 $g ≃ g^{'}$ ，所以同伦逆只在同伦类意义下唯一。

参考来源：2 条（见定义页）

前置概念

Prerequisites

1 条

严格数学前置指「定义中直接使用了对方」；学习前置是教学顺序建议，二者可能不同。所有前置概念都可以点击跳转，并可逐层递归展开。

A严格数学前置

同伦Homotopy

B学习前置

暂无额外学习前置；上列的数学前置同时也是学习起点。

多层前置（最多展开三层，点击三角展开）

同伦Homotopy数学前置

连续映射Continuous Map数学前置

拓扑空间Topological Space数学前置

思想动机

Motivation

01原本存在的问题

同胚的逆映射必须严格互逆，但在「允许形变」的世界里，逆只需把空间送回原样「同伦于」原样即可。

02原有理论的不足

若没有「逆到同伦为止」的概念，可逆性就只能停留在同胚层面，同伦等价也就无法成为一个对称关系。

03为什么需要引入新概念

把等式 $id$ 替换为同伦 $≃$ ： $g \circ f ≃ id_{X}$ 且 $f \circ g ≃ id_{Y}$ 。

04新概念解决了什么

同伦逆使同伦等价成为对称关系，并在同伦范畴中成为真正的逆态射： $[f]$ 与 $[g]$ 互为逆。

关系网络

Relations

2 条

关系按类型分开记录：逻辑依赖、学习顺序、推广与特例、应用、思想联系、历史影响。下图以本概念为中心，点击节点可展开邻居，双击节点打开对应概念页。

数学前置依赖
学习前置
推广
特殊情形
等价
构造自
应用于
在……下不变
思想联系
思想启发
历史影响
|
同伦论
代数拓扑
一般拓扑
群论
范畴论与同调代数
数学基础
几何群论

在全局关系图中查看 →

逻辑与结构关系Logical / structural

由数学定义本身决定的关系：谁依赖谁、谁推广谁、谁与谁等价。这类关系与学习者无关。

数学前置依赖requires

同伦Homotopy数学前置依赖已审核

同伦逆的定义使用两次映射同伦（左右两个复合），因此依赖同伦关系。

来源：Hatcher 2002

等价equivalent_to

同伦等价Homotopy Equivalence等价已审核

两者是同一概念的两个层面：f 是同伦等价当且仅当 f 拥有同伦逆。该等价逐字由定义得到。

成立条件：同伦逆 g 只需满足两个复合同伦于恒等映射，不要求相等

来源：Hatcher 2002、Dieck 2008

历史脉络

History

0 条

历史事件待补充本概念尚未录入可追溯来源的历史事件；不编造年代与人物。

延伸探索

Extensions

从这里出发可以继续探索的方向，按「直接推广 / 理论应用 / 思想联系 / 现代发展」区分。

直接数学推广

把当前定义的条件放宽、对象替换或维度提升后得到的理论。

同伦范畴

同伦范畴把「同伦逆」提升为范畴论中的逆态射：$[g] \circ [f] = [\mathrm{id}]$。

Gabriel 1967

思想联系

问题意识或方法论上的呼应，不一定是形式化依赖。

同伦等价

同伦等价 = 存在同伦逆的映射。两者是同一概念的两个表述层面：一个讲映射的性质，一个讲空间的关系。

Hatcher 2002

思想主线

Main Idea

同伦逆揭示了同伦论中「可逆」的真实含义：可逆从来不是严格的，而是相差一个同伦。这正是同伦范畴里同构的定义方式，也是为什么同伦等价可以被范畴论地表述为「同构」。

补充笔记

Notes

同伦逆不唯一

若 $g$ 与 $g^{'}$ 都是 $f$ 的同伦逆，则 $g ≃ g^{'}$ 。因此同伦逆只在同伦类的意义下唯一，这也解释了为什么同伦范畴中的同构只能由同伦类给出。

与同胚的关系

每个同胚都是同伦等价（取 $g = f^{- 1}$ ，两个复合严格等于恒等映射）。反过来不成立： $R^{n} \to {0}$ 是同伦等价但不同胚。

参考来源

References

3 条

[1]
Allen Hatcher (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press.
专著 · §1.1, §4.1 (Whitehead 定理见 Theorem 4.5)
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf已审核
[2]
Tammo tom Dieck (2008). Algebraic Topology. European Mathematical Society.
专著 · Part II (Homotopy)
已审核
[3]
Peter Gabriel, Michel Zisman (1967). Calculus of Fractions and Homotopy Theory. Ergebnisse der Mathematik 35, Springer.
专著 · Part I (局部化与同伦范畴)
已审核