连续映射 称为弱同伦等价，若它诱导所有同伦群 （， 指连通分支集合）的同构。它不要求存在同伦逆。
同一概念可以拥有多条定义：它们可能刻画同一对象的不同侧面（例如标准定义与范畴论刻画）。 每条定义都有独立页面与来源。
连续映射 称为弱同伦等价，若：
定义不要求存在同伦逆。
成立条件
对所有基点与所有 成立
的同构指连通分支之间的双射
适用对象
定义解释
弱同伦等价比同伦等价弱：同伦等价一定诱导所有同伦群的同构，但反过来不一定。 Whitehead 定理说明，在连通 CW 复形之间这一差距消失。 正因如此，「弱等价」成为模型范畴中更基本的概念：它是可以在任意范畴中公理化的那一类态射。
参考来源：2 条（见定义页）
严格数学前置指「定义中直接使用了对方」；学习前置是教学顺序建议，二者可能不同。 所有前置概念都可以点击跳转，并可逐层递归展开。
暂无额外学习前置；上列的数学前置同时也是学习起点。
多层前置（最多展开三层，点击三角展开）
同伦等价要求显式构造同伦逆，实际验证往往不可行；而许多构造（如 CW 逼近、局部化） 自然产生的映射只满足「在所有同伦群上同构」。
「诱导所有同伦群同构」在同伦等价的定义中只是必要条件。若直接把它当作等价关系， 在一般空间上会出问题（可能存在不同伦等价的弱等价），因此必须谨慎。
把「所有 同构」单独提取为定义，承认它比同伦等价更弱，并研究二者的差距。
Whitehead 定理说明：在连通 CW 复形之间，弱同伦等价等于同伦等价。 于是弱等价成为模型范畴中「弱等价类」的原型，也是同伦范畴形式局部化的对象。
关系按类型分开记录：逻辑依赖、学习顺序、推广与特例、应用、思想联系、历史影响。 下图以本概念为中心，点击节点可展开邻居，双击节点打开对应概念页。
由数学定义本身决定的关系：谁依赖谁、谁推广谁、谁与谁等价。这类关系与学习者无关。
requires定理的假设是「$f$ 诱导所有同伦群同构」，这正是弱同伦等价；定理断言它在 CW 复形之间可升级为同伦等价。
generalizes教学法上的先后顺序。它不总是逻辑依赖：某些概念可以先学后补证明。
learning_prerequisite时间线中的每个事件都关联文献来源；标注「待审核」表示书目信息尚未完全核对。
Whitehead 在《Combinatorial homotopy I》中系统引入 CW 复形（当时称「胞腔复形」的雏形）， 并证明：连通 CW 复形之间，若一个映射诱导所有同伦群的同构，则它是同伦等价。 该结果即 Whitehead 定理，它确立了 CW 复形作为同伦论标准对象类的地位。
从这里出发可以继续探索的方向，按「直接推广 / 理论应用 / 思想联系 / 现代发展」区分。
Whitehead 定理给出弱同伦等价与同伦等价在 CW 复形上一致的条件。
Whitehead 1949
同伦范畴可以通过把弱等价形式地变成同构（局部化）来构造。
Gabriel 1967
模型范畴把弱等价、纤维化、余纤维化作为三类基本态射；弱同伦等价是其原型。
Quillen 1967
弱同伦等价是「用不变量定义的等价」：它不问是否存在同伦逆，只问所有同伦群是否被同构地搬运。 这一区分在 CW 复形上消失（Whitehead 定理），在一般空间上却至关重要—— 它正是模型范畴把「弱等价」作为基本概念的原因。
的同构即连通分支之间的双射；对每个基点与每个 ，诱导同态
是群同构。
存在弱同伦等价但不同伦等价的空间（例如某些非 CW 的病态空间）。 Whitehead 定理之所以需要 CW 假设，正是为了排除这类情形。