弱同伦等价的定义

Definition of Weak Homotopy Equivalence

所属概念：弱同伦等价已审核ID：def-weak-homotopy-equivalence

严格数学表述

Statement

连续映射 $f : X \to Y$ 称为弱同伦等价，若：

$f$ 诱导连通分支集合的双射 $π_{0} (X) \to π_{0} (Y)$ ；
对每个 $x_{0} \in X$ 与每个 $n \geq 1$ ，诱导同态 $f_{*} : π_{n} (X, x_{0}) \to π_{n} (Y, f (x_{0}))$ 是群同构。

定义不要求存在同伦逆。

f_{*} : π_{n} (X, x_{0}) ≅ π_{n} (Y, f (x_{0})), \forall n \geq 0

Conditions & Scope

成立条件

适用对象

连续映射拓扑空间

Explanation

弱同伦等价比同伦等价弱：同伦等价一定诱导所有同伦群的同构，但反过来不一定。 Whitehead 定理说明，在连通 CW 复形之间这一差距消失。正因如此，「弱等价」成为模型范畴中更基本的概念：它是可以在任意范畴中公理化的那一类态射。

Prerequisites

2 个

References

2 条

[1]
Allen Hatcher (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press.
专著 · §1.1, §4.1 (Whitehead 定理见 Theorem 4.5)
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf已审核
[2]
J. H. C. Whitehead (1949). Combinatorial homotopy I. Bulletin of the American Mathematical Society 55, 213–245.
论文 · 55, 213–245
https://www.ams.org/journals/bull/1949-55-03/S0002-9904-1949-09186-9/已审核