Definition·独立条目

Whitehead 定理

Whitehead's Theorem

所属概念：Whitehead 定理已审核ID：def-whitehead-theorem

严格数学表述

Statement

设 $X, Y$ 为连通的 CW 复形， $f : X \to Y$ 为连续映射。若 $f$ 诱导所有同伦群的同构，即 $f_{*} : π_{n} (X, x_{0}) \to π_{n} (Y, f (x_{0}))$ 对所有 $n \geq 1$ 与所有 $x_{0} \in X$ 都是同构，则 $f$ 是同伦等价。

f_{*} : π_{n} (X) ≅ π_{n} (Y) (\forall n \geq 1) ⟹ f 是同伦等价

成立条件与适用对象

Conditions & Scope

成立条件

$X$ 、 $Y$ 为连通 CW 复形（CW 假设不可省略）
$f$ 连续
所有同伦群（而不只是基本群）同构

适用对象

连通 CW 复形之间的连续映射

定义解释

Explanation

证明依赖 CW 复形的骨架结构：先在同伦群层面构造同伦逆，再逐维消去障碍。 CW 假设提供了「胞腔障碍理论」所需的技术条件。若去掉 CW 假设，结论不成立：存在弱同伦等价但不同伦等价的空间。

前置概念

Prerequisites

3 个

CW 复形CW Complex 弱同伦等价Weak Homotopy Equivalence 高阶同伦群Higher Homotopy Group

参考来源

References

3 条

[1]
J. H. C. Whitehead (1949). Combinatorial homotopy I. Bulletin of the American Mathematical Society 55, 213–245.
论文 · 55, 213–245
https://www.ams.org/journals/bull/1949-55-03/S0002-9904-1949-09186-9/已审核
[2]
Allen Hatcher (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press.
专著 · §1.1, §4.1 (Whitehead 定理见 Theorem 4.5)
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf已审核
[3]
Tammo tom Dieck (2008). Algebraic Topology. European Mathematical Society.
专著 · Part II (Homotopy)
已审核