群 在集合或空间 上的作用是映射 ，， 满足 与 ；等价地，是同态 。
同一概念可以拥有多条定义：它们可能刻画同一对象的不同侧面（例如标准定义与范畴论刻画）。 每条定义都有独立页面与来源。
设 为群， 为集合（或拓扑空间）。 在 上的作用是一个映射 ，，满足
等价地，作用是一个群同态 。
成立条件
两条公理成立
若 为拓扑空间并研究拓扑作用，则要求 连续
适用对象
定义解释
两条公理正是「 的每个元素给出 的一个自同构，且乘法对应复合」。 等价的同态描述把作用视为「 的具体实现」：群元素不再是抽象符号，而是空间上的变换。
参考来源：2 条（见定义页）
严格数学前置指「定义中直接使用了对方」；学习前置是教学顺序建议，二者可能不同。 所有前置概念都可以点击跳转，并可逐层递归展开。
无（本概念的定义不依赖其他概念）。
暂无额外学习前置；上列的数学前置同时也是学习起点。
抽象群由公理给出，结构难以直接把握；而大量重要的群本来就来自几何对象 （基本群、覆盖变换群、等距群），其信息只有通过作用才能读出。
仅有同态 的抽象定义，不足以说明为什么作用能帮助理解群； 需要把群论问题系统地翻译成几何与拓扑问题。
让群元素充当空间的对称：轨道、稳定子、商空间、覆叠空间都成为可计算的几何对象。
得到轨道—稳定子定理、商空间理论、覆叠空间分类；Bass–Serre 理论用树上的作用研究自由积与 自由群的子群结构（Kurosh 定理），几何群论由此成形。
关系按类型分开记录：逻辑依赖、学习顺序、推广与特例、应用、思想联系、历史影响。 下图以本概念为中心，点击节点可展开邻居，双击节点打开对应概念页。
一个概念被用于研究另一个对象，或某类结构在变换下保持不变。
applies_to自由群通过其在 Cayley 图上的自由作用被几何地刻画；群作用是研究自由群子群结构（Nielsen–Schreier）的主要工具。
不构成严格逻辑依赖，但在思想史或方法论上互相照亮的关系。
conceptual_connection时间线中的每个事件都关联文献来源；标注「待审核」表示书目信息尚未完全核对。
Gromov 在《Hyperbolic groups》中引入双曲群：用群作用空间的「负曲率」性质定义一类群， 并证明其大量几何与算法性质。这项工作总结并推广了此前关于自由群、曲面群与树的作用的结果， 通常被视为几何群论作为独立领域的成形标志。
从这里出发可以继续探索的方向，按「直接推广 / 理论应用 / 思想联系 / 现代发展」区分。
自由群作用在 Cayley 图上，其自由性（无环作用）正是「自由」的几何含义。
Gromov 1987
覆叠空间理论把基本群实现为纤维上的变换群：$\pi_1$ 作用于覆叠空间的纤维。
Hatcher 2002
群胚作用与轨道空间的语言（Brown）比单基点群作用更适合处理不连通与粘合情形。
Brown 2006
群作用是「把群变成几何」的接口。它让群论问题在空间上获得直观，也让空间问题在群上获得计算； 几何群论的核心方法——用作用把群嵌入空间的对称中——正建立在这个接口上。
若 是拓扑空间、 是拓扑群，并要求作用映射连续，则得到拓扑群作用。 此时可以研究商空间 、基本域与覆叠空间。