集合 上的自由群 由 生成、除群公理外不满足任何额外关系。 其元素是 与其形式逆构成的有限字，模去相邻的 与 。
同一概念可以拥有多条定义：它们可能刻画同一对象的不同侧面（例如标准定义与范畴论刻画）。 每条定义都有独立页面与来源。
设 为集合，取形式符号集 。一个字是有限序列 ， 其中 、。 若相邻两项满足 且 ，则称该字可约化。 约化到不能继续约化的字称为约化字。 在「约化」生成的等价关系下，字构成一个群，称为 上的自由群 ， 乘法为拼接后约化，单位元为空字，逆元为反序取逆。
成立条件
为任意集合（可数或不可数）
等价关系由相邻的 与 消去生成
适用对象
定义解释
这个构造说明「自由」的含义：除了强制成立的关系（）之外，不添加任何关系。 若 有 个元素， 就是 个生成元的自由群，通常记作 。 注意 中的元素不是 中的元素，而是字； 通过单字母字嵌入 。
参考来源：2 条（见定义页）
设 为集合， 为 上的自由群， 为单字母字给出的映射。 则对任意群 与任意映射 ，存在唯一的群同态 使得 。 换言之， 是遗忘函子 的左伴随。
成立条件
为集合， 为群
为包含映射
适用对象
定义解释
泛性质唯一确定 到同构，因此可以完全不提「字」而定义自由群。 它也是「自由对象」这一范畴论概念的原型：自由群是群范畴中由集合自由生成的对象。
参考来源：1 条（见定义页）
严格数学前置指「定义中直接使用了对方」；学习前置是教学顺序建议，二者可能不同。 所有前置概念都可以点击跳转，并可逐层递归展开。
无（本概念的定义不依赖其他概念）。
暂无额外学习前置；上列的数学前置同时也是学习起点。
需要一种「没有额外关系」的群，作为构造其他群的积木，并精确表达「只服从群公理」这一直觉。
具体给出的群总带有关系（交换、幂零、有限阶元素等），无法充当普遍的自由对象； 而仅用生成元与关系描述群时，又需要一个「关系为空」的基准。
用字与约化构造群：元素是 上的有限字，乘法是拼接后约化。 并证明泛性质：任何映射 唯一延拓为同态 。
自由群成为群范畴的自由对象；每个群都有表现 ，即自由群对正规子群的商。 自由群的子群结构（Nielsen–Schreier）与字问题（Dehn）开启了组合群论。
关系按类型分开记录：逻辑依赖、学习顺序、推广与特例、应用、思想联系、历史影响。 下图以本概念为中心，点击节点可展开邻居，双击节点打开对应概念页。
由数学定义本身决定的关系：谁依赖谁、谁推广谁、谁与谁等价。这类关系与学习者无关。
generalizesspecial_case_of自由群是自由积的特例：当每个因子都是无限循环群 $\mathbb{Z}$ 时，自由积回到自由群。
成立条件：取每个因子 $G_i \cong \mathbb{Z}$
教学法上的先后顺序。它不总是逻辑依赖：某些概念可以先学后补证明。
learning_prerequisite一个概念被用于研究另一个对象，或某类结构在变换下保持不变。
applies_to图的基本群是自由群；更一般地，群的自由表现 $\langle S \mid R \rangle$ 用自由群描述任意基本群。
来源：Hatcher 2002
自由群通过其在 Cayley 图上的自由作用被几何地刻画；群作用是研究自由群子群结构（Nielsen–Schreier）的主要工具。
时间线中的每个事件都关联文献来源；标注「待审核」表示书目信息尚未完全核对。
Dehn 研究曲面的基本群（「无限不连续群」），提出判定两个群元素是否相等的 字问题，并给出曲面群上的判定算法。这条线索把拓扑问题转化为组合群论问题， 是几何群论与算法群论的共同源头之一。
Schreier 证明自由群的每个子群都是自由群，并给出子群秩与指数之间的关系。 这一结果与 Nielsen 的工作合称 Nielsen–Schreier 定理，是组合群论的基本定理， 也解释了为什么自由群在几何群论中如此可控。
Kurosh 证明自由积的子群结构定理：自由积的任意子群都同构于一个自由群与若干 「各因子子群的共轭」的自由积。这是 Nielsen–Schreier 定理向自由积的推广， 也是 Bass–Serre 理论之前理解自由积子群的主要工具。
Gromov 在《Hyperbolic groups》中引入双曲群：用群作用空间的「负曲率」性质定义一类群， 并证明其大量几何与算法性质。这项工作总结并推广了此前关于自由群、曲面群与树的作用的结果， 通常被视为几何群论作为独立领域的成形标志。
从这里出发可以继续探索的方向，按「直接推广 / 理论应用 / 思想联系 / 现代发展」区分。
把「每个因子是 $\mathbb{Z}$」换成任意群族，就得到自由积；自由群是自由积的特例。
Hatcher 2002
自由群是基本群计算的基本构件：图的基本群就是自由群，van Kampen 定理用自由积表达并空间。
Hatcher 2002、Kampen 1933
自由群是「群论的公理本身」。它把一个集合的生成元以最经济的方式组织成群，因此任何群都是它的商。 自由群的研究把群论从「研究具体群」转变为「研究生成元与关系」， 并最终通向几何群论：自由群恰是自由作用在树上的群。
对任意群 与任意映射 ，存在唯一的群同态 使得 ，其中 是包含。这条性质唯一确定 到同构。
每个群 都有表现 ， 其中 是 生成的正规子群。
Nielsen–Schreier 定理：自由群的每个子群仍是自由群。 这使自由群成为组合群论中最可控的对象之一。