群族 的自由积 由交错字 构成， 其中相邻的 来自不同的因子，且非单位元。它是群范畴中的余积。
同一概念可以拥有多条定义：它们可能刻画同一对象的不同侧面（例如标准定义与范畴论刻画）。 每条定义都有独立页面与来源。
设 为一族群，每个 中的单位元记为 。 一个交错字是有限序列 ，其中每个 属于某个 ， 且相邻的 来自不同的因子，并且 。 在「相邻同因子元素相乘」生成的等价关系下，交错字构成群， 称为 的自由积，记作 。
成立条件
指标集 任意
相邻字母来自不同因子
因子中的单位元不写入字中
适用对象
定义解释
自由积是群范畴中的余积：它把各因子嵌入进来，并且除各因子内部的关系外不添加任何关系。 当所有 时，自由积就是自由群，因此自由群是自由积的特例。
参考来源：2 条（见定义页）
严格数学前置指「定义中直接使用了对方」；学习前置是教学顺序建议，二者可能不同。 所有前置概念都可以点击跳转，并可逐层递归展开。
无（本概念的定义不依赖其他概念）。
多层前置（最多展开三层，点击三角展开）
需要一种「把群拼起来而不引入额外关系」的运算，用来描述并空间的基本群。
直积引入了交换式协调：，这与「并空间」的几何直觉不符—— 来自两个子空间的回路应当可以自由交错，而不必交换。
只允许相邻字母来自不同因子，按此规则做字与约化；由此得到群范畴的余积。
自由积成为群范畴的余积；van Kampen 定理把并空间的基本群表示为自由积（带合并）； Kurosh 子群定理描述了自由积的子群结构。
关系按类型分开记录：逻辑依赖、学习顺序、推广与特例、应用、思想联系、历史影响。 下图以本概念为中心，点击节点可展开邻居，双击节点打开对应概念页。
由数学定义本身决定的关系：谁依赖谁、谁推广谁、谁与谁等价。这类关系与学习者无关。
generalizesspecial_case_of自由群是自由积的特例：当每个因子都是无限循环群 $\mathbb{Z}$ 时，自由积回到自由群。
成立条件：取每个因子 $G_i \cong \mathbb{Z}$
教学法上的先后顺序。它不总是逻辑依赖：某些概念可以先学后补证明。
learning_prerequisite一个概念被用于研究另一个对象，或某类结构在变换下保持不变。
applies_tovan Kampen 定理用自由积（带合并）计算并空间的基本群，使「空间的粘合」对应「群的拼合」。
时间线中的每个事件都关联文献来源；标注「待审核」表示书目信息尚未完全核对。
van Kampen 给出由开覆盖计算基本群的方法：当空间写成两个道路连通开集的并时， 基本群由这两个开集的基本群沿交的基本群「合并」而成（自由积带合并）。 该结论通常被称为 Seifert–van Kampen 定理，是把空间粘合翻译成群论运算的关键工具。
Kurosh 证明自由积的子群结构定理：自由积的任意子群都同构于一个自由群与若干 「各因子子群的共轭」的自由积。这是 Nielsen–Schreier 定理向自由积的推广， 也是 Bass–Serre 理论之前理解自由积子群的主要工具。
从这里出发可以继续探索的方向，按「直接推广 / 理论应用 / 思想联系 / 现代发展」区分。
van Kampen 定理：若 $X = U \cup V$ 且 $U \cap V$ 道路连通，则 $\pi_1(X)$ 是 $\pi_1(U)$ 与 $\pi_1(V)$ 沿 $\pi_1(U \cap V)$ 的合并自由积。
Kampen 1933、Hatcher 2002
Bass–Serre 理论：群 $G$ 分解为自由积（带合并）当且仅当 $G$ 作用在树上且商图是树。
Gromov 1987
自由积是「群的并」的正确形式：它保留各因子的全部结构，同时不添加任何跨因子的关系。 它把拓扑中的「空间拼接」翻译成群论中的「自由拼合」，是 van Kampen 定理的代数核心， 也是 Bass–Serre 理论中「群作用在树上」的来源。
自由积 的每个子群 都同构于
其中 是自由群，每个 同构于某个 的某个子群的共轭。 这是自由群 Nielsen–Schreier 定理的推广。