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自由积的定义

Definition of the Free Product

所属概念：自由积已审核ID：def-free-product

严格数学表述

Statement

设 ${G_{i}}_{i \in I}$ 为一族群，每个 $G_{i}$ 中的单位元记为 $e_{i}$ 。一个交错字是有限序列 $g_{1} g_{2} \dots g_{k}$ ，其中每个 $g_{j}$ 属于某个 $G_{i}$ ，且相邻的 $g_{j}, g_{j + 1}$ 来自不同的因子，并且 $g_{j} \neq = e_{i}$ 。在「相邻同因子元素相乘」生成的等价关系下，交错字构成群，称为 ${G_{i}}$ 的自由积，记作 $*_{i \in I} G_{i}$ 。

*_{i \in I} G_{i} = {g_{1} g_{2} \dots g_{k} g_{j} \in G_{i_{j}}, i_{j} \neq = i_{j + 1}} / \sim

成立条件与适用对象

Conditions & Scope

成立条件

指标集 $I$ 任意
相邻字母来自不同因子
因子中的单位元不写入字中

适用对象

群族群

定义解释

Explanation

自由积是群范畴中的余积：它把各因子嵌入进来，并且除各因子内部的关系外不添加任何关系。当所有 $G_{i} ≅ Z$ 时，自由积就是自由群，因此自由群是自由积的特例。

前置概念

Prerequisites

1 个

自由群Free Group

参考来源

References

2 条

[1]
Alexander Kurosh (1934). Die Untergruppen der freien Produkte von beliebigen Gruppen. Mathematische Annalen 109, 647–660.
论文 · 109, 647–660
已审核
[2]
Allen Hatcher (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press.
专著 · §1.1, §4.1 (Whitehead 定理见 Theorem 4.5)
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf已审核