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自由群的字模型定义

Free Group via Reduced Words

所属概念：自由群已审核ID：def-free-group-words

严格数学表述

Statement

设 $S$ 为集合，取形式符号集 $S \cup S^{- 1}$ 。一个字是有限序列 $s_{1}^{ε_{1}} s_{2}^{ε_{2}} \dots s_{k}^{ε_{k}}$ ，其中 $s_{i} \in S$ 、 $ε_{i} \in {1, - 1}$ 。若相邻两项满足 $s_{i} = s_{i + 1}$ 且 $ε_{i} = - ε_{i + 1}$ ，则称该字可约化。约化到不能继续约化的字称为约化字。在「约化」生成的等价关系下，字构成一个群，称为 $S$ 上的自由群 $F (S)$ ，乘法为拼接后约化，单位元为空字，逆元为反序取逆。

F (S) = {s_{1}^{ε_{1}} \dots s_{k}^{ε_{k}} s_{i} \in S, ε_{i} = \pm 1} / \sim

成立条件与适用对象

Conditions & Scope

成立条件

$S$ 为任意集合（可数或不可数）
等价关系由相邻的 $s s^{- 1}$ 与 $s^{- 1} s$ 消去生成

适用对象

集合群

定义解释

Explanation

这个构造说明「自由」的含义：除了强制成立的关系（ $s s^{- 1} = e$ ）之外，不添加任何关系。若 $S$ 有 $n$ 个元素， $F (S)$ 就是 $n$ 个生成元的自由群，通常记作 $F_{n}$ 。注意 $F (S)$ 中的元素不是 $S$ 中的元素，而是字； $S$ 通过单字母字嵌入 $F (S)$ 。

前置概念

Prerequisites

0 个

该定义不依赖其他概念。

参考来源

References

2 条

[1]
Allen Hatcher (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press.
专著 · §1.1, §4.1 (Whitehead 定理见 Theorem 4.5)
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf已审核
[2]
Otto Schreier (1927). Die Untergruppen der freien Gruppen. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 5, 161–183.
论文 · 5, 161–183
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