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自由群的泛性质刻画

Universal Property of the Free Group

所属概念：自由群已审核ID：def-free-group-universal

严格数学表述

Statement

设 $S$ 为集合， $F (S)$ 为 $S$ 上的自由群， $ι : S \to F (S)$ 为单字母字给出的映射。则对任意群 $G$ 与任意映射 $φ : S \to G$ ，存在唯一的群同态 $φ ~ : F (S) \to G$ 使得 $φ ~ \circ ι = φ$ 。换言之， $F$ 是遗忘函子 $Grp \to Set$ 的左伴随。

\forall φ : S \to G, \exists! φ ~ : F (S) \to G 使得 φ ~ \circ ι = φ

成立条件与适用对象

Conditions & Scope

成立条件

$S$ 为集合， $G$ 为群
$ι$ 为包含映射

适用对象

集合群

定义解释

Explanation

泛性质唯一确定 $F (S)$ 到同构，因此可以完全不提「字」而定义自由群。它也是「自由对象」这一范畴论概念的原型：自由群是群范畴中由集合自由生成的对象。

前置概念

Prerequisites

1 个

自由群Free Group

参考来源

References

1 条

[1]
Allen Hatcher (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press.
专著 · §1.1, §4.1 (Whitehead 定理见 Theorem 4.5)
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf已审核