群作用的定义

Definition of a Group Action

所属概念：群作用已审核ID：def-group-action

严格数学表述

Statement

设 $G$ 为群， $X$ 为集合（或拓扑空间）。 $G$ 在 $X$ 上的作用是一个映射 $G \times X \to X$ ， $(g, x) \mapsto g \cdot x$ ，满足

等价地，作用是一个群同态 $G \to Aut (X)$ 。

e \cdot x = x, g \cdot (h \cdot x) = (g h) \cdot x

Conditions & Scope

成立条件

适用对象

群与集合群与拓扑空间（要求作用映射连续）

Explanation

两条公理正是「 $G$ 的每个元素给出 $X$ 的一个自同构，且乘法对应复合」。等价的同态描述把作用视为「 $G$ 的具体实现」：群元素不再是抽象符号，而是空间上的变换。

Prerequisites

0 个

该定义不依赖其他概念。

References

2 条

[1]
Ronald Brown (2006). Topology and Groupoids. BookSurge Publishing.
专著 · Ch. 6–9 (群胚与基本群胚)
https://groupoids.org.uk/topgpds.html已审核
[2]
Mikhael Gromov (1987). Hyperbolic groups. Essays in Group Theory, MSRI Publications 8, Springer, 75–263.
论文 · MSRI Publ. 8, 75–263
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