形变收缩的定义

Definition of Deformation Retract

所属概念：形变收缩已审核ID：def-deformation-retract

严格数学表述

Statement

设 $A \subseteq X$ 为拓扑空间 $X$ 的子空间。若存在连续映射 $H : X \times [0, 1] \to X$ ，满足：

则称 $A$ 是 $X$ 的形变收缩核（deformation retract）， $H$ 为从 $X$ 到 $A$ 的形变收缩。

H_{0} = id_{X}, H_{1} (X) \subseteq A, H_{1} ∣_{A} = id_{A} .

Conditions & Scope

成立条件

适用对象

拓扑空间拓扑空间的子空间

Explanation

定义要求形变的起点是 X 上的恒等映射，终点是一个将 X 映入 A 的收缩映射，且该终点映射在 A 上限制为恒等映射。

令 r=H_1:X\to A 为终点映射， i:A\to X 为包含映射，则有：

r\circ i=\mathrm{id}_A

i\circ r\simeq\mathrm{id}_X

因此 i 和 r 互为同伦逆，X 与 A 同伦等价。

本定义不要求中间过程 H_t|_A=\mathrm{id}_A。若进一步要求对所有 t\in[0,1]， H_t|_A=\mathrm{id}_A，则称为强形变收缩。

注意数学文献中的术语约定存在差异。例如 Hatcher 的 Algebraic Topology 将要求整个同伦过程中 A 逐点不动的版本称为 deformation retraction。其他文献可能将其称为 strong deformation retraction。阅读时应核对具体定义。

Prerequisites

2 个

References

3 条

[1]
Allen Hatcher (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press.
专著 · §1.1, §4.1 (Whitehead 定理见 Theorem 4.5)
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf已审核
[2]
Tammo tom Dieck (2008). Algebraic Topology. European Mathematical Society.
专著 · Part II (Homotopy)
已审核
[3]
Edwin H. Spanier (1966). Algebraic Topology. McGraw-Hill.
专著 · Ch. 1–4
已审核