Definition·独立条目

同伦的标准定义

Standard Definition of Homotopy

所属概念：同伦已审核ID：def-homotopy-standard

严格数学表述

Statement

设 $X, Y$ 为拓扑空间， $f, g : X \to Y$ 连续。若存在连续映射 $H : X \times [0, 1] \to Y$ 使得对所有 $x \in X$ 有 $H (x, 0) = f (x)$ 且 $H (x, 1) = g (x)$ ，则称 $f$ 与 $g$ 同伦，记作 $f ≃ g$ 。

H : X \times [0, 1] \to Y, H (x, 0) = f (x), H (x, 1) = g (x)

成立条件与适用对象

Conditions & Scope

成立条件

$X$ 、 $Y$ 为拓扑空间
$f$ 、 $g$ 连续
$[0, 1]$ 取子空间拓扑， $X \times [0, 1]$ 取乘积拓扑

适用对象

拓扑空间之间的连续映射

定义解释

Explanation

$[0, 1]$ 是「时间」参数： $H_{t} (x) := H (x, t)$ 是一族连续映射，从 $f$ 连续变形到 $g$ 。同伦是映射之间的等价关系，不是空间之间的关系；空间之间的关系由同伦等价（同伦逆的存在性）给出。

前置概念

Prerequisites

2 个

拓扑空间Topological Space 连续映射Continuous Map

参考来源

References

2 条

[1]
Allen Hatcher (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press.
专著 · §1.1, §4.1 (Whitehead 定理见 Theorem 4.5)
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf已审核
[2]
Tammo tom Dieck (2008). Algebraic Topology. European Mathematical Society.
专著 · Part II (Homotopy)
已审核