基本群胚的定义

Definition of the Fundamental Groupoid

所属概念：基本群胚已审核ID：def-fundamental-groupoid

严格数学表述

Statement

设 $X$ 为拓扑空间。基本群胚 $Π_{1} (X)$ 定义为范畴：

每个态射都可逆（取反向道路），因此 $Π_{1} (X)$ 是群胚。基本群是它在 $x_{0}$ 处的自同构群： $π_{1} (X, x_{0}) = Aut_{Π_{1} (X)} (x_{0})$ 。

π_{1} (X, x_{0}) = Aut_{Π_{1} (X)} (x_{0})

Conditions & Scope

成立条件

适用对象

拓扑空间

Explanation

把点变成对象后，基本群胚同时记录了「同一基点处的回路」与「不同基点之间的道路」。这使得 van Kampen 定理、覆盖空间分类与群作用可以用统一语言表述，也解释了为什么基本群只是群胚在一个点上的切片。

Prerequisites

2 个

References

2 条

[1]
Ronald Brown (2006). Topology and Groupoids. BookSurge Publishing.
专著 · Ch. 6–9 (群胚与基本群胚)
https://groupoids.org.uk/topgpds.html已审核
[2]
Allen Hatcher (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press.
专著 · §1.1, §4.1 (Whitehead 定理见 Theorem 4.5)
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf已审核