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基本群的定义

Definition of the Fundamental Group

所属概念：基本群已审核ID：def-fundamental-group

严格数学表述

Statement

设 $X$ 为拓扑空间， $x_{0} \in X$ 。称连续映射 $γ : [0, 1] \to X$ 为以 $x_{0}$ 为基点的闭路，若 $γ (0) = γ (1) = x_{0}$ 。闭路在「相对于端点的同伦」下的同伦类构成集合 $π_{1} (X, x_{0})$ 。对同伦类 $[γ], [δ]$ 定义乘法 $[γ] \cdot [δ] := [γ * δ]$ ，其中 $γ * δ$ 为先走 $γ$ 再走 $δ$ 的拼接。在此乘法下 $π_{1} (X, x_{0})$ 构成群，称为 $X$ 在基点 $x_{0}$ 处的基本群。

π_{1} (X, x_{0}) = {[γ] γ : [0, 1] \to X, γ (0) = γ (1) = x_{0}}

成立条件与适用对象

Conditions & Scope

成立条件

$X$ 为拓扑空间， $x_{0} \in X$
同伦必须相对于端点 ${0, 1}$ 固定
拼接后需重新参数化，否则乘法不满足结合律

适用对象

拓扑空间带基点的拓扑空间

定义解释

Explanation

群结构不是在闭路层面，而是在同伦类层面出现的：拼接只满足结合律「同伦意义下」成立，单位元（常值闭路）与逆元（反向闭路）也只在同伦类层面成立。这正是「同伦」作为等价关系所起的作用。

前置概念

Prerequisites

3 个

拓扑空间Topological Space 连续映射Continuous Map 同伦Homotopy

参考来源

References

3 条

[1]
Allen Hatcher (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press.
专著 · §1.1, §4.1 (Whitehead 定理见 Theorem 4.5)
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf已审核
[2]
Tammo tom Dieck (2008). Algebraic Topology. European Mathematical Society.
专著 · Part II (Homotopy)
已审核
[3]
Henri Poincaré (1895). Analysis situs. Journal de l'École Polytechnique (2) 1, 1–121.
论文 · pp. 1–121
基本群在此文中被引入（当时称 groupe fondamental）。页码按通行引用记录，尚未逐页核对。
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