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可缩空间的定义

Definition of Contractible Space

所属概念：可缩空间已审核ID：def-contractible-space

严格数学表述

Statement

拓扑空间 $X$ 称为可缩的，若存在 $x_{0} \in X$ 使恒等映射同伦于常值映射 $const_{x_{0}} : X \to X$ ，即 $id_{X} ≃ const_{x_{0}}$ 。等价地， $X$ 同伦等价于单点空间。

id_{X} ≃ const_{x_{0}}, X ≃ *

Conditions & Scope

成立条件

适用对象

拓扑空间

Explanation

同伦 $H : id_{X} ≃ const_{x_{0}}$ 就是「把整个空间收拢到 $x_{0}$ 」的连续过程。可以进一步证明可以选取使 $x_{0}$ 固定的同伦，因此 ${x_{0}}$ 是 $X$ 的强形变收缩核。「同伦等价于单点」这一表述便于与其他同伦型比较。

Prerequisites

2 个

References

2 条

[1]
Allen Hatcher (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press.
专著 · §1.1, §4.1 (Whitehead 定理见 Theorem 4.5)
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf已审核
[2]
James R. Munkres (2000). Topology. Prentice Hall (2nd edition).
专著 · Ch. 2 (拓扑空间与连续映射)
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