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高阶同伦群的定义

Definition of Higher Homotopy Groups

所属概念：高阶同伦群已审核ID：def-higher-homotopy-group

严格数学表述

Statement

设 $X$ 为拓扑空间， $x_{0} \in X$ ， $n \geq 1$ 。记 $(S^{n}, s_{0})$ 为带基点的 $n$ 维球面。定义 $π_{n} (X, x_{0}) := [(S^{n}, s_{0}), (X, x_{0})]$ ，即保持基点的连续映射的同伦类集合。沿赤道拼接两个球面映射，可使 $π_{n} (X, x_{0})$ 成为群；当 $n \geq 2$ 时该群是交换群。

π_{n} (X, x_{0}) = [(S^{n}, s_{0}), (X, x_{0})], n \geq 1

成立条件与适用对象

Conditions & Scope

成立条件

$n \geq 1$
同伦与映射均保持基点
$n \geq 2$ 时群交换； $n = 1$ 时即基本群，可以非交换

适用对象

带基点的拓扑空间

定义解释

Explanation

$n = 1$ 时 $S^{1}$ 的映射就是闭路，回到基本群。对 $n \geq 2$ ，球面有足够的「旋转空间」，可以把两次拼接的顺序同伦地交换，因此 $π_{n}$ 交换。这一现象也解释了为什么高阶同伦群比基本群更接近同调群。

前置概念

Prerequisites

2 个

同伦Homotopy 基本群Fundamental Group

参考来源

References

2 条

[1]
Allen Hatcher (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press.
专著 · §1.1, §4.1 (Whitehead 定理见 Theorem 4.5)
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf已审核
[2]
Witold Hurewicz (1935). Beiträge zur Topologie der Deformationen I. Proceedings of the Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam 38, 112–119.
论文 · 38, 112–119（系列论文 I–IV，1935–1936）
该系列分四部分发表于 1935–1936 年；各部分的卷号与页码尚未逐条核对。
待审核