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奇异同调的定义

Definition of Singular Homology

所属概念：奇异同调已审核ID：def-singular-homology

严格数学表述

Statement

设 $X$ 为拓扑空间， $Δ^{n}$ 为标准 $n$ -单形。奇异 $n$ -单形是连续映射 $σ : Δ^{n} \to X$ 。以全体奇异 $n$ -单形为基的自由交换群记为 $C_{n} (X)$ ，称为奇异 $n$ -链群。边缘算子 $\partial_{n} : C_{n} (X) \to C_{n - 1} (X)$ 定义为 $\partial_{n} (σ) = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} σ \circ F_{i}^{n}$ ，其中 $F_{i}^{n}$ 是第 $i$ 个面映射。它满足 $\partial_{n - 1} \circ \partial_{n} = 0$ 。于是定义 $H_{n} (X) := ker \partial_{n} / im \partial_{n + 1}$ ，称为 $X$ 的奇异同调群。

H_{n} (X) = ker \partial_{n} / im \partial_{n + 1}, \partial_{n - 1} \circ \partial_{n} = 0

成立条件与适用对象

Conditions & Scope

成立条件

$\partial^{2} = 0$ （保证同调群有定义）
系数环默认取 $Z$

适用对象

拓扑空间

定义解释

Explanation

「奇异」指单形不要求嵌入 $X$ ，只要求连续映射，因此对任意拓扑空间都有定义。边缘算子满足 $\partial^{2} = 0$ ，所以闭链群包含边缘链群，商群才有意义。同调把「空间的洞」翻译成「闭而不边的链」的等价类，从而变成线性代数问题。

前置概念

Prerequisites

2 个

拓扑空间Topological Space 连续映射Continuous Map

参考来源

References

2 条

[1]
Allen Hatcher (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press.
专著 · §1.1, §4.1 (Whitehead 定理见 Theorem 4.5)
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf已审核
[2]
Samuel Eilenberg, Norman Steenrod (1945). Axiomatic approach to homology theory. Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA 31, 117–120.
论文 · 31, 117–120
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