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CW 复形的定义

Definition of a CW Complex

所属概念：CW 复形已审核ID：def-cw-complex

严格数学表述

Statement

CW 复形 $X$ 由骨架序列 $X^{0} \subseteq X^{1} \subseteq \dots$ 与空间 $X = ⋃_{n} X^{n}$ 构成，其中 $X^{0}$ 是离散点集，且对每个 $n \geq 1$ ， $X^{n}$ 由 $X^{n - 1}$ 粘上若干 $n$ -胞腔 $D_{i}^{n}$ 得到：

X^{n} = X^{n - 1} \cup_{φ_{i}} i \in I_{n} ∐ D_{i}^{n},

其中粘合映射 $φ_{i} : S^{n - 1} \to X^{n - 1}$ 连续。要求：

闭包有限：每个胞腔的闭包只与有限多个胞腔相交；
弱拓扑： $A \subseteq X$ 闭当且仅当 $A \cap X^{n}$ 对每个 $n$ 都在 $X^{n}$ 中闭。

X^{n} = X^{n - 1} \cup_{φ} i \in I_{n} ∐ D_{i}^{n}, φ_{i} : S^{n - 1} \to X^{n - 1}

成立条件与适用对象

Conditions & Scope

成立条件

$X^{0}$ 为离散空间
每个 $n$ -胞腔沿 $S^{n - 1}$ 连续粘合
闭包有限条件
弱拓扑条件

适用对象

拓扑空间

定义解释

Explanation

「逐维搭建」是 CW 复形的核心：每一维只添加新胞腔，不改变低维骨架的同伦型（相对意义下）。闭包有限与弱拓扑保证局部行为可控，使同调、同伦与 Whitehead 定理都能工作。许多常见空间（球面、射影空间、环面、流形）都有自然的 CW 结构。

前置概念

Prerequisites

2 个

拓扑空间Topological Space 连续映射Continuous Map

参考来源

References

2 条

[1]
J. H. C. Whitehead (1949). Combinatorial homotopy I. Bulletin of the American Mathematical Society 55, 213–245.
论文 · 55, 213–245
https://www.ams.org/journals/bull/1949-55-03/S0002-9904-1949-09186-9/已审核
[2]
Allen Hatcher (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press.
专著 · §1.1, §4.1 (Whitehead 定理见 Theorem 4.5)
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf已审核