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连续映射的开集原像定义

Definition of Continuity via Preimages of Open Sets

所属概念：连续映射已审核ID：def-continuous-map-preimage

严格数学表述

Statement

设 $(X, τ_{X})$ 、 $(Y, τ_{Y})$ 为拓扑空间， $f : X \to Y$ 为映射。若对每个开集 $V \in τ_{Y}$ ，其原像 $f^{- 1} (V)$ 都是 $X$ 中的开集，则称 $f$ 连续。

f 连续 ⟺ \forall V \in τ_{Y}, f^{- 1} (V) \in τ_{X}

成立条件与适用对象

Conditions & Scope

成立条件

$X$ 、 $Y$ 为拓扑空间
$f$ 为集合映射（不预设连续性）

适用对象

拓扑空间之间的映射度量空间之间的映射（作为特例）

定义解释

Explanation

这个定义把「 $f$ 把靠近的点送到靠近的点」改写为「 $f$ 把开集拉回成开集」。在度量空间中它与 $ε$ - $δ$ 定义等价：取 $V$ 为 $f (x_{0})$ 的 $ε$ -球， $f^{- 1} (V)$ 包含 $x_{0}$ 的某个 $δ$ -球，正是 $ε$ - $δ$ 的表述。注意原像方向是「反向」的：连续性由 $Y$ 的开集控制 $X$ 的开集。

前置概念

Prerequisites

1 个

拓扑空间Topological Space

参考来源

References

2 条

[1]
James R. Munkres (2000). Topology. Prentice Hall (2nd edition).
专著 · Ch. 2 (拓扑空间与连续映射)
已审核
[2]
Allen Hatcher (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press.
专著 · §1.1, §4.1 (Whitehead 定理见 Theorem 4.5)
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf已审核